Theorem rankop 4673

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
rankun.1	|- A e. V
rankun.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankop	|- (rank` <.A, B>.) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B))

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 2412	. . 3 |- <.A, B>. = {{A}, {A, B}}
2	1	fveq2i 3718	. 2 |- (rank` <.A, B>.) = (rank` {{A}, {A, B}})
3		snex 2745	. . 3 |- {A} e. V
4		prex 2776	. . 3 |- {A, B} e. V
5	3, 4	rankpr 4672	. 2 |- (rank` {{A}, {A, B}}) = suc ((rank` {A}) u. (rank` {A, B}))
6		snsspr 2466	. . . . . 6 |- {A} (_ {A, B}
7		ssequn1 2196	. . . . . 6 |- ({A} (_ {A, B} <-> ({A} u. {A, B}) = {A, B})
8	6, 7	mpbi 189	. . . . 5 |- ({A} u. {A, B}) = {A, B}
9	8	fveq2i 3718	. . . 4 |- (rank` ({A} u. {A, B})) = (rank` {A, B})
10	3, 4	rankun 4671	. . . 4 |- (rank` ({A} u. {A, B})) = ((rank` {A}) u. (rank` {A, B}))
11		rankun.1	. . . . 5 |- A e. V
12		rankun.2	. . . . 5 |- B e. V
13	11, 12	rankpr 4672	. . . 4 |- (rank` {A, B}) = suc ((rank` A) u. (rank` B))
14	9, 10, 13	3eqtr3 1500	. . 3 |- ((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc ((rank` A) u. (rank` B))
15		suceq 3029	. . 3 |- (((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc ((rank` A) u. (rank` B)) -> suc ((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B)))
16	14, 15	ax-mp 7	. 2 |- suc ((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B))
17	2, 5, 16	3eqtr 1496	1 |- (rank` <.A, B>.) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B))

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041   (_ wss 2043  {csn 2405  {cpr 2406  <.cop 2407  suc csuc 2945  ` cfv 3177  rankcrnk 4622

This theorem is referenced by:  rankelop 4689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-r1 4623  df-rank 4624

Copyright terms: Public domain