Theorem rankop 4839

Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107.

Hypotheses

Ref	Expression
rankun.1	|- A e. V
rankun.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankop	|- (rank` <.A, B>.) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B))

Proof of Theorem rankop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-op 2474	. . 3 |- <.A, B>. = {{A}, {A, B}}
2	1	fveq2i 3838	. 2 |- (rank` <.A, B>.) = (rank` {{A}, {A, B}})
3		snex 2826	. . 3 |- {A} e. V
4		prex 2857	. . 3 |- {A, B} e. V
5	3, 4	rankpr 4838	. 2 |- (rank` {{A}, {A, B}}) = suc ((rank` {A}) u. (rank` {A, B}))
6		snsspr1 2534	. . . . . 6 |- {A} (_ {A, B}
7		ssequn1 2252	. . . . . 6 |- ({A} (_ {A, B} <-> ({A} u. {A, B}) = {A, B})
8	6, 7	mpbi 187	. . . . 5 |- ({A} u. {A, B}) = {A, B}
9	8	fveq2i 3838	. . . 4 |- (rank` ({A} u. {A, B})) = (rank` {A, B})
10	3, 4	rankun 4837	. . . 4 |- (rank` ({A} u. {A, B})) = ((rank` {A}) u. (rank` {A, B}))
11		rankun.1	. . . . 5 |- A e. V
12		rankun.2	. . . . 5 |- B e. V
13	11, 12	rankpr 4838	. . . 4 |- (rank` {A, B}) = suc ((rank` A) u. (rank` B))
14	9, 10, 13	3eqtr3i 1546	. . 3 |- ((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc ((rank` A) u. (rank` B))
15		suceq 3038	. . 3 |- (((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc ((rank` A) u. (rank` B)) -> suc ((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B)))
16	14, 15	ax-mp 7	. 2 |- suc ((rank` {A}) u. (rank` {A, B})) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B))
17	2, 5, 16	3eqtri 1542	1 |- (rank` <.A, B>.) = suc suc ((rank` A) u. (rank` B))

Syntax hints:   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   u. cun 2097   (_ wss 2099  {csn 2467  {cpr 2468  <.cop 2469  suc csuc 2977  ` cfv 3263  rankcrnk 4788

This theorem is referenced by:  rankelop 4855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-r1 4789  df-rank 4790

Copyright terms: Public domain