MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankop Unicode version

Theorem rankop 7526
Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1  |-  A  e. 
_V
rankun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankop  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )

Proof of Theorem rankop
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 7481 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2358 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankun.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
54, 2eleqtrri 2358 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
6 rankopb 7520 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
73, 5, 6mp2an 655 1  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1624    e. wcel 1685   _Vcvv 2790    u. cun 3152   <.cop 3645   U.cuni 3829   Oncon0 4392   suc csuc 4394   "cima 4692   ` cfv 5222   R1cr1 7430   rankcrnk 7431
This theorem is referenced by:  rankelop  7542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7302  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-r1 7432  df-rank 7433
  Copyright terms: Public domain W3C validator