MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankop Unicode version

Theorem rankop 7710
Description: The rank of an ordered pair. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 13-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1  |-  A  e. 
_V
rankun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankop  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )

Proof of Theorem rankop
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 7665 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2453 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankun.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
54, 2eleqtrri 2453 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
6 rankopb 7704 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
73, 5, 6mp2an 654 1  |-  ( rank `  <. A ,  B >. )  =  suc  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    u. cun 3254   <.cop 3753   U.cuni 3950   Oncon0 4515   suc csuc 4517   "cima 4814   ` cfv 5387   R1cr1 7614   rankcrnk 7615
This theorem is referenced by:  rankelop  7726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-reg 7486  ax-inf2 7522
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-r1 7616  df-rank 7617
  Copyright terms: Public domain W3C validator