MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankpr Unicode version

Theorem rankpr 7676
Description: The rank of an unordered pair. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1  |-  A  e. 
_V
rankun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankpr  |-  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )

Proof of Theorem rankpr
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 7632 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2439 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankun.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
54, 2eleqtrri 2439 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
6 rankprb 7670 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  { A ,  B }
)  =  suc  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
73, 5, 6mp2an 653 1  |-  ( rank `  { A ,  B } )  =  suc  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    u. cun 3236   {cpr 3730   U.cuni 3929   Oncon0 4495   suc csuc 4497   "cima 4795   ` cfv 5358   R1cr1 7581   rankcrnk 7582
This theorem is referenced by:  rankelpr  7692  rankelop  7693
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-reg 7453  ax-inf2 7489
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-r1 7583  df-rank 7584
  Copyright terms: Public domain W3C validator