Theorem rankpr 4672

Description: The rank of an unordered pair. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207.

Hypotheses

Ref	Expression
rankun.1	|- A e. V
rankun.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankpr	|- (rank` {A, B}) = suc ((rank` A) u. (rank` B))

Proof of Theorem rankpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 2409	. . . 4 |- {A, B} = ({A} u. {B})
2	1	fveq2i 3718	. . 3 |- (rank` {A, B}) = (rank` ({A} u. {B}))
3		snex 2745	. . . 4 |- {A} e. V
4		snex 2745	. . . 4 |- {B} e. V
5	3, 4	rankun 4671	. . 3 |- (rank` ({A} u. {B})) = ((rank` {A}) u. (rank` {B}))
6		rankun.1	. . . . 5 |- A e. V
7	6	ranksn 4669	. . . 4 |- (rank` {A}) = suc (rank` A)
8		rankun.2	. . . . 5 |- B e. V
9	8	ranksn 4669	. . . 4 |- (rank` {B}) = suc (rank` B)
10	7, 9	uneq12i 2178	. . 3 |- ((rank` {A}) u. (rank` {B})) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B))
11	2, 5, 10	3eqtr 1496	. 2 |- (rank` {A, B}) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B))
12		rankon 4651	. . . 4 |- (rank` A) e. On
13	12	onord 3090	. . 3 |- Ord (rank` A)
14		rankon 4651	. . . 4 |- (rank` B) e. On
15	14	onord 3090	. . 3 |- Ord (rank` B)
16		ordsucun 3077	. . 3 |- ((Ord (rank` A) /\ Ord (rank` B)) -> suc ((rank` A) u. (rank` B)) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B)))
17	13, 15, 16	mp2an 696	. 2 |- suc ((rank` A) u. (rank` B)) = (suc (rank` A) u. suc (rank` B))
18	11, 17	eqtr4 1495	1 |- (rank` {A, B}) = suc ((rank` A) u. (rank` B))

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807   u. cun 2041  {csn 2405  {cpr 2406  Ord word 2942  suc csuc 2945  ` cfv 3177  rankcrnk 4622

This theorem is referenced by:  rankop 4673  rankelun 4687  rankelpr 4688  rankelop 4689

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-r1 4623  df-rank 4624

Copyright terms: Public domain