MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankpw Unicode version

Theorem rankpw 7512
Description: The rank of a power set. Part of Exercise 30 of [Enderton] p. 207. (Contributed by NM, 22-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankpw.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankpw  |-  ( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankpw
StepHypRef Expression
1 rankpw.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 7482 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2359 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankpwi 7492 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A ) )
53, 4ax-mp 10 1  |-  ( rank `  ~P A )  =  suc  ( rank `  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1625    e. wcel 1687   _Vcvv 2791   ~Pcpw 3628   U.cuni 3830   Oncon0 4393   suc csuc 4395   "cima 4693   ` cfv 5223   R1cr1 7431   rankcrnk 7432
This theorem is referenced by:  ranklim  7513  r1pwOLD  7515  rankuni  7532  rankc2  7540  rankxpu  7545  rankpwg  24208
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-reg 7303  ax-inf2 7339
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-r1 7433  df-rank 7434
  Copyright terms: Public domain W3C validator