MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankr1g Unicode version

Theorem rankr1g 7499
Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function  R1. Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankr1g  |-  ( A  e.  V  ->  ( B  =  ( rank `  A )  <->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B )  /\  A  e.  ( R1 `  suc  B ) ) ) )

Proof of Theorem rankr1g
StepHypRef Expression
1 elex 2797 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
2 unir1 7480 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2syl6eleqr 2375 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
4 rankr1c 7488 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( B  =  (
rank `  A )  <->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B )  /\  A  e.  ( R1 `  suc  B
) ) ) )
53, 4syl 17 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( B  =  ( rank `  A )  <->  ( -.  A  e.  ( R1 `  B )  /\  A  e.  ( R1 `  suc  B ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1628    e. wcel 1688   _Vcvv 2789   U.cuni 3828   Oncon0 4391   suc csuc 4393   "cima 4691   ` cfv 5221   R1cr1 7429   rankcrnk 7430
This theorem is referenced by:  rankr1  7501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-reg 7301  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-r1 7431  df-rank 7432
  Copyright terms: Public domain W3C validator