Theorem rankr1g 7504

Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function R1. Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1g	|- ( A e. V -> ( B = ( rank ` A ) <-> ( -. A e. ( R1 ` B ) /\ A e. ( R1 ` suc B ) ) ) )

Proof of Theorem rankr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2796	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		unir1 7485	. . 3 |- U. ( R1 " On ) = _V
3	1, 2	syl6eleqr 2374	. 2 |- ( A e. V -> A e. U. ( R1 " On ) )
4		rankr1c 7493	. 2 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( B = ( rank ` A ) <-> ( -. A e. ( R1 ` B ) /\ A e. ( R1 ` suc B ) ) ) )
5	3, 4	syl 15	1 |- ( A e. V -> ( B = ( rank ` A ) <-> ( -. A e. ( R1 ` B ) /\ A e. ( R1 ` suc B ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   = wceq 1623   e. wcel 1684   _Vcvv 2788   U.cuni 3827   Oncon0 4392   suc csuc 4394   "cima 4692   ` cfv 5255   R1cr1 7434   rankcrnk 7435

This theorem is referenced by:  rankr1  7506

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-reg 7306  ax-inf2 7342

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-r1 7436  df-rank 7437