Theorem rankr1g 7718

Description: A relationship between the rank function and the cumulative hierarchy of sets function R1. Proposition 9.15(2) of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by NM, 6-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankr1g	|- ( A e. V -> ( B = ( rank ` A ) <-> ( -. A e. ( R1 ` B ) /\ A e. ( R1 ` suc B ) ) ) )

Proof of Theorem rankr1g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2928	. . 3 |- ( A e. V -> A e. _V )
2		unir1 7699	. . 3 |- U. ( R1 " On ) = _V
3	1, 2	syl6eleqr 2499	. 2 |- ( A e. V -> A e. U. ( R1 " On ) )
4		rankr1c 7707	. 2 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( B = ( rank ` A ) <-> ( -. A e. ( R1 ` B ) /\ A e. ( R1 ` suc B ) ) ) )
5	3, 4	syl 16	1 |- ( A e. V -> ( B = ( rank ` A ) <-> ( -. A e. ( R1 ` B ) /\ A e. ( R1 ` suc B ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2920   U.cuni 3979   Oncon0 4545   suc csuc 4547   "cima 4844   ` cfv 5417   R1cr1 7648   rankcrnk 7649

This theorem is referenced by:  rankr1  7720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-reg 7520  ax-inf2 7556

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-r1 7650  df-rank 7651