Theorem ranksn 4661

Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112.

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ranksn	|- (rank` {A}) = suc (rank` A)

Proof of Theorem ranksn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 1641	. . . . . 6 |- (A.y e. {A} (rank` y) e. x <-> A.y(y e. {A} -> (rank` y) e. x))
2		elsn 2411	. . . . . . . 8 |- (y e. {A} <-> y = A)
3	2	imbi1i 186	. . . . . . 7 |- ((y e. {A} -> (rank` y) e. x) <-> (y = A -> (rank` y) e. x))
4	3	albii 996	. . . . . 6 |- (A.y(y e. {A} -> (rank` y) e. x) <-> A.y(y = A -> (rank` y) e. x))
5		ranksn.1	. . . . . . 7 |- A e. V
6		fveq2 3709	. . . . . . . 8 |- (y = A -> (rank` y) = (rank` A))
7	6	eleq1d 1532	. . . . . . 7 |- (y = A -> ((rank` y) e. x <-> (rank` A) e. x))
8	5, 7	ceqsalv 1818	. . . . . 6 |- (A.y(y = A -> (rank` y) e. x) <-> (rank` A) e. x)
9	1, 4, 8	3bitr 177	. . . . 5 |- (A.y e. {A} (rank` y) e. x <-> (rank` A) e. x)
10	9	a1i 8	. . . 4 |- (x e. On -> (A.y e. {A} (rank` y) e. x <-> (rank` A) e. x))
11	10	rabbii 1796	. . 3 |- {x e. On | A.y e. {A} (rank` y) e. x} = {x e. On | (rank` A) e. x}
12	11	inteqi 2527	. 2 |- |^|{x e. On | A.y e. {A} (rank` y) e. x} = |^|{x e. On | (rank` A) e. x}
13		snex 2740	. . 3 |- {A} e. V
14	13	rankval3 4653	. 2 |- (rank` {A}) = |^|{x e. On | A.y e. {A} (rank` y) e. x}
15		rankon 4643	. . 3 |- (rank` A) e. On
16		onsucmin 3062	. . 3 |- ((rank` A) e. On -> suc (rank` A) = |^|{x e. On | (rank` A) e. x})
17	15, 16	ax-mp 7	. 2 |- suc (rank` A) = |^|{x e. On | (rank` A) e. x}
18	12, 14, 17	3eqtr4 1497	1 |- (rank` {A}) = suc (rank` A)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 951   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  {crab 1640  Vcvv 1802  {csn 2399  |^|cint 2523  Oncon0 2938  suc csuc 2940  ` cfv 3172  rankcrnk 4614

This theorem is referenced by:  rankpr 4664  ranksuc 4672

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-r1 4615  df-rank 4616

Copyright terms: Public domain