MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ranksnb Unicode version

Theorem ranksnb 7453
Description: The rank of a singleton. Theorem 15.17(v) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ranksnb  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { A } )  =  suc  ( rank `  A )
)

Proof of Theorem ranksnb
StepHypRef Expression
1 fveq2 5444 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  A
) )
21eleq1d 2322 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  A
)  e.  x ) )
32ralsng 3632 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A. y  e. 
{ A }  ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  A
)  e.  x ) )
43rabbidv 2749 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  e.  On  |  ( rank `  A )  e.  x } )
54inteqd 3827 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  e.  On  |  ( rank `  A )  e.  x } )
6 snwf 7435 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  { A }  e.  U. ( R1 " On ) )
7 rankval3b 7452 . . 3  |-  ( { A }  e.  U. ( R1 " On )  ->  ( rank `  { A } )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y
)  e.  x }
)
86, 7syl 17 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { A } )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  { A }  ( rank `  y
)  e.  x }
)
9 rankon 7421 . . 3  |-  ( rank `  A )  e.  On
10 onsucmin 4570 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  suc  ( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  | 
( rank `  A )  e.  x } )
119, 10mp1i 13 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  suc  ( rank `  A
)  =  |^| { x  e.  On  |  ( rank `  A )  e.  x } )
125, 8, 113eqtr4d 2298 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  { A } )  =  suc  ( rank `  A )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   {crab 2520   {csn 3600   U.cuni 3787   |^|cint 3822   Oncon0 4350   suc csuc 4352   "cima 4650   ` cfv 4659   R1cr1 7388   rankcrnk 7389
This theorem is referenced by:  rankprb  7477  ranksn  7480  rankcf  8353  rankaltopb  23874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-r1 7390  df-rank 7391
  Copyright terms: Public domain W3C validator