MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankss Structured version   Unicode version

Theorem rankss 7777
Description: The subset relation is inherited by the rank function. Exercise 1 of [TakeutiZaring] p. 80. (Contributed by NM, 25-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rankss.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankss  |-  ( A 
C_  B  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank `  B )
)

Proof of Theorem rankss
StepHypRef Expression
1 rankss.1 . . 3  |-  B  e. 
_V
2 unir1 7741 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2511 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankssb 7776 . 2  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  B  ->  ( rank `  A
)  C_  ( rank `  B ) ) )
53, 4ax-mp 8 1  |-  ( A 
C_  B  ->  ( rank `  A )  C_  ( rank `  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   U.cuni 4017   Oncon0 4583   "cima 4883   ` cfv 5456   R1cr1 7690   rankcrnk 7691
This theorem is referenced by:  rankuni  7791  rankval4  7795  rankc2  7799  rankxpu  7804  rankxplim  7805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-reg 7562  ax-inf2 7598
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-r1 7692  df-rank 7693
  Copyright terms: Public domain W3C validator