Theorem ranksuc 4846

Description: The rank of a successor.

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
ranksuc	|- (rank` suc A) = suc (rank` A)

Proof of Theorem ranksuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-suc 2981	. . 3 |- suc A = (A u. {A})
2	1	fveq2i 3838	. 2 |- (rank` suc A) = (rank` (A u. {A}))
3		rankr1b.1	. . 3 |- A e. V
4		snex 2826	. . 3 |- {A} e. V
5	3, 4	rankun 4837	. 2 |- (rank` (A u. {A})) = ((rank` A) u. (rank` {A}))
6	3	ranksn 4835	. . . 4 |- (rank` {A}) = suc (rank` A)
7	6	uneq2i 2233	. . 3 |- ((rank` A) u. (rank` {A})) = ((rank` A) u. suc (rank` A))
8		sssucid 3050	. . . 4 |- (rank` A) (_ suc (rank` A)
9		ssequn1 2252	. . . 4 |- ((rank` A) (_ suc (rank` A) <-> ((rank` A) u. suc (rank` A)) = suc (rank` A))
10	8, 9	mpbi 187	. . 3 |- ((rank` A) u. suc (rank` A)) = suc (rank` A)
11	7, 10	eqtri 1538	. 2 |- ((rank` A) u. (rank` {A})) = suc (rank` A)
12	2, 5, 11	3eqtri 1542	1 |- (rank` suc A) = suc (rank` A)

Syntax hints:   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857   u. cun 2097   (_ wss 2099  {csn 2467  suc csuc 2977  ` cfv 3263  rankcrnk 4788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-reg 4736  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233  df-r1 4789  df-rank 4790

Copyright terms: Public domain