MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankun Unicode version

Theorem rankun 7524
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by NM, 26-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1  |-  A  e. 
_V
rankun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankun  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )

Proof of Theorem rankun
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 7481 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2357 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankun.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
54, 2eleqtrri 2357 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
6 rankunb 7518 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
73, 5, 6mp2an 653 1  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1685   _Vcvv 2789    u. cun 3151   U.cuni 3828   Oncon0 4391   "cima 4691   ` cfv 5221   R1cr1 7430   rankcrnk 7431
This theorem is referenced by:  ranksuc  7533  rankelun  7540  rankelpr  7541  rankung  24206
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-reg 7302  ax-inf2 7338
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-r1 7432  df-rank 7433
  Copyright terms: Public domain W3C validator