MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankun Unicode version

Theorem rankun 7496
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by NM, 26-Nov-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ranksn.1  |-  A  e. 
_V
rankun.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankun  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )

Proof of Theorem rankun
StepHypRef Expression
1 ranksn.1 . . 3  |-  A  e. 
_V
2 unir1 7453 . . 3  |-  U. ( R1 " On )  =  _V
31, 2eleqtrri 2331 . 2  |-  A  e. 
U. ( R1 " On )
4 rankun.2 . . 3  |-  B  e. 
_V
54, 2eleqtrri 2331 . 2  |-  B  e. 
U. ( R1 " On )
6 rankunb 7490 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
73, 5, 6mp2an 656 1  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2763    u. cun 3125   U.cuni 3801   Oncon0 4364   "cima 4664   ` cfv 4673   R1cr1 7402   rankcrnk 7403
This theorem is referenced by:  ranksuc  7505  rankelun  7512  rankelpr  7513  rankung  24172
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
  Copyright terms: Public domain W3C validator