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Theorem rankunb 7490
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )

Proof of Theorem rankunb
StepHypRef Expression
1 unwf 7450 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 7466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
|^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y } )
31, 2sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } )
43eleq2d 2325 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } ) )
5 vex 2766 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
65elintrab 3848 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y }  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
74, 6syl6bb 254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
) )
8 elun 3291 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
9 rankelb 7464 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A ) ) )
10 elun1 3317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  A
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
119, 10syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
12 rankelb 7464 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  B ) ) )
13 elun2 3318 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
1412, 13syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
1511, 14jaao 497 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
168, 15syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
1716ralrimiv 2600 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
18 rankon 7435 . . . . . . 7  |-  ( rank `  A )  e.  On
19 rankon 7435 . . . . . . 7  |-  ( rank `  B )  e.  On
2018, 19onun2i 4480 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  On
21 eleq2 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( rank `  x )  e.  y  <-> 
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2221ralbidv 2538 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
23 eleq2 2319 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2422, 23imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  <->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
2524rcla4v 2855 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e.  On  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) ) )
2620, 25ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2717, 26syl5com 28 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  x  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
287, 27sylbid 208 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2928ssrdv 3160 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
30 ssun1 3313 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
31 rankssb 7488 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  A
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3230, 31mpi 18 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
33 ssun2 3314 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
34 rankssb 7488 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  B
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3533, 34mpi 18 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  B )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3632, 35unssd 3326 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
371, 36sylbi 189 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3829, 37eqssd 3171 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2518   {crab 2522    u. cun 3125    C_ wss 3127   U.cuni 3801   |^|cint 3836   Oncon0 4364   "cima 4664   ` cfv 4673   R1cr1 7402   rankcrnk 7403
This theorem is referenced by:  rankprb  7491  rankopb  7492  rankun  7496  rankaltopb  23889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
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