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Theorem rankunb 7455
Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )

Proof of Theorem rankunb
StepHypRef Expression
1 unwf 7415 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  <-> 
( A  u.  B
)  e.  U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 7431 . . . . . . 7  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  = 
|^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y } )
31, 2sylbi 189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } )
43eleq2d 2323 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y } ) )
5 vex 2743 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
65elintrab 3815 . . . . 5  |-  ( x  e.  |^| { y  e.  On  |  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y }  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
)
74, 6syl6bb 254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )
) )
8 elun 3258 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
9 rankelb 7429 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A ) ) )
10 elun1 3284 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  A
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
119, 10syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
12 rankelb 7429 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( rank `  B ) ) )
13 elun2 3285 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  ( rank `  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
1412, 13syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  B  ->  ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
1511, 14jaao 497 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
168, 15syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
1716ralrimiv 2596 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
18 rankon 7400 . . . . . . 7  |-  ( rank `  A )  e.  On
19 rankon 7400 . . . . . . 7  |-  ( rank `  B )  e.  On
2018, 19onun2i 4445 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  e.  On
21 eleq2 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( rank `  x )  e.  y  <-> 
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2221ralbidv 2534 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  <->  A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
23 eleq2 2317 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2422, 23imbi12d 313 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) )  ->  ( ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  <->  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) ) )
2524rcla4v 2831 . . . . . 6  |-  ( ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  e.  On  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) ) )
2620, 25ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  ( A. x  e.  ( A  u.  B )
( rank `  x )  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  ->  x  e.  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
2717, 26syl5com 28 . . . 4  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( A. y  e.  On  ( A. x  e.  ( A  u.  B
) ( rank `  x
)  e.  y  ->  x  e.  y )  ->  x  e.  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) ) )
287, 27sylbid 208 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( x  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  x  e.  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
2928ssrdv 3127 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  C_  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
30 ssun1 3280 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
31 rankssb 7453 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  A
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3230, 31mpi 18 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
33 ssun2 3281 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
34 rankssb 7453 . . . . 5  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( B  C_  ( A  u.  B )  ->  ( rank `  B
)  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
3533, 34mpi 18 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  B )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3632, 35unssd 3293 . . 3  |-  ( ( A  u.  B )  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
371, 36sylbi 189 . 2  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( ( rank `  A )  u.  ( rank `  B ) ) 
C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3829, 37eqssd 3138 1  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  B  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   {crab 2519    u. cun 3092    C_ wss 3094   U.cuni 3768   |^|cint 3803   Oncon0 4329   "cima 4629   ` cfv 4638   R1cr1 7367   rankcrnk 7368
This theorem is referenced by:  rankprb  7456  rankopb  7457  rankun  7461  rankaltopb  23853
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-r1 7369  df-rank 7370
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