Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankunb Structured version   Unicode version

Theorem rankunb 7768
 Description: The rank of the union of two sets. Theorem 15.17(iii) of [Monk1] p. 112. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankunb

Proof of Theorem rankunb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unwf 7728 . . . . . . 7
2 rankval3b 7744 . . . . . . 7
31, 2sylbi 188 . . . . . 6
43eleq2d 2502 . . . . 5
5 vex 2951 . . . . . 6
65elintrab 4054 . . . . 5
74, 6syl6bb 253 . . . 4
8 elun 3480 . . . . . . 7
9 rankelb 7742 . . . . . . . . 9
10 elun1 3506 . . . . . . . . 9
119, 10syl6 31 . . . . . . . 8
12 rankelb 7742 . . . . . . . . 9
13 elun2 3507 . . . . . . . . 9
1412, 13syl6 31 . . . . . . . 8
1511, 14jaao 496 . . . . . . 7
168, 15syl5bi 209 . . . . . 6
1716ralrimiv 2780 . . . . 5
18 rankon 7713 . . . . . . 7
19 rankon 7713 . . . . . . 7
2018, 19onun2i 4689 . . . . . 6
21 eleq2 2496 . . . . . . . . 9
2221ralbidv 2717 . . . . . . . 8
23 eleq2 2496 . . . . . . . 8
2422, 23imbi12d 312 . . . . . . 7
2524rspcv 3040 . . . . . 6
2620, 25ax-mp 8 . . . . 5
2717, 26syl5com 28 . . . 4
287, 27sylbid 207 . . 3
2928ssrdv 3346 . 2
30 ssun1 3502 . . . . 5
31 rankssb 7766 . . . . 5
3230, 31mpi 17 . . . 4
33 ssun2 3503 . . . . 5
34 rankssb 7766 . . . . 5
3533, 34mpi 17 . . . 4
3632, 35unssd 3515 . . 3
371, 36sylbi 188 . 2
3829, 37eqssd 3357 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  crab 2701   cun 3310   wss 3312  cuni 4007  cint 4042  con0 4573  cima 4873  cfv 5446  cr1 7680  crnk 7681 This theorem is referenced by:  rankprb  7769  rankopb  7770  rankun  7774  rankaltopb  25816 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-r1 7682  df-rank 7683
 Copyright terms: Public domain W3C validator