Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rankung Unicode version

Theorem rankung 24172
Description: The rank of the union of two sets. Closed form of rankun 7496. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
rankung  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )

Proof of Theorem rankung
StepHypRef Expression
1 uneq1 3297 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  u.  y )  =  ( A  u.  y ) )
21fveq2d 5462 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  =  ( rank `  ( A  u.  y )
) )
3 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43uneq1d 3303 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  y ) ) )
52, 4eqeq12d 2272 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  ( x  u.  y ) )  =  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  <->  ( rank `  ( A  u.  y
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  y ) ) ) )
6 uneq2 3298 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A  u.  y )  =  ( A  u.  B ) )
76fveq2d 5462 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( rank `  ( A  u.  y ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
8 fveq2 5458 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  B
) )
98uneq2d 3304 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  y
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2272 . 2  |-  ( y  =  B  ->  (
( rank `  ( A  u.  y ) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  y ) )  <->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
11 vex 2766 . . 3  |-  x  e. 
_V
12 vex 2766 . . 3  |-  y  e. 
_V
1311, 12rankun 7496 . 2  |-  ( rank `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )
145, 10, 13vtocl2g 2822 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    u. cun 3125   ` cfv 4673   rankcrnk 7403
This theorem is referenced by:  hfun  24184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
  Copyright terms: Public domain W3C validator