Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rankung Unicode version

Theorem rankung 23970
Description: The rank of the union of two sets. Closed form of rankun 7412. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
rankung  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )

Proof of Theorem rankung
StepHypRef Expression
1 uneq1 3232 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  u.  y )  =  ( A  u.  y ) )
21fveq2d 5381 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  =  ( rank `  ( A  u.  y )
) )
3 fveq2 5377 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43uneq1d 3238 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  y ) ) )
52, 4eqeq12d 2267 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  ( x  u.  y ) )  =  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  <->  ( rank `  ( A  u.  y
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  y ) ) ) )
6 uneq2 3233 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A  u.  y )  =  ( A  u.  B ) )
76fveq2d 5381 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( rank `  ( A  u.  y ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
8 fveq2 5377 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( rank `  y )  =  ( rank `  B
) )
98uneq2d 3239 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( rank `  A )  u.  ( rank `  y
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) )
107, 9eqeq12d 2267 . 2  |-  ( y  =  B  ->  (
( rank `  ( A  u.  y ) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  y ) )  <->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  =  ( ( rank `  A
)  u.  ( rank `  B ) ) ) )
11 vex 2730 . . 3  |-  x  e. 
_V
12 vex 2730 . . 3  |-  y  e. 
_V
1311, 12rankun 7412 . 2  |-  ( rank `  ( x  u.  y
) )  =  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )
145, 10, 13vtocl2g 2785 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( rank `  ( A  u.  B )
)  =  ( (
rank `  A )  u.  ( rank `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    u. cun 3076   ` cfv 4592   rankcrnk 7319
This theorem is referenced by:  hfun  23982
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
  Copyright terms: Public domain W3C validator