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Theorem rankuni 7530
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Proof of Theorem rankuni
StepHypRef Expression
1 unieq 3837 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
21fveq2d 5489 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. A ) )
3 fveq2 5485 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43unieqd 3839 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. ( rank `  x )  = 
U. ( rank `  A
) )
52, 4eqeq12d 2298 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  U. x )  =  U. ( rank `  x )  <->  ( rank ` 
U. A )  = 
U. ( rank `  A
) ) )
6 vex 2792 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76rankuni2 7522 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U_ z  e.  x  ( rank `  z )
8 fvex 5499 . . . . . . 7  |-  ( rank `  z )  e.  _V
98dfiun2 3938 . . . . . 6  |-  U_ z  e.  x  ( rank `  z )  =  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
) }
107, 9eqtri 2304 . . . . 5  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }
11 df-rex 2550 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  <->  E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
126rankel 7506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
) )
1312anim1i 553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z ) )  -> 
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
1413eximi 1564 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  E. z
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
15 19.42v 1847 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
16 eleq1 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  <->  ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1716pm5.32ri 621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) )  <->  ( ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
1817exbii 1570 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  E. z ( (
rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
19 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  ->  y  e.  (
rank `  x )
)
20 rankon 7462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rank `  x )  e.  On
2120oneli 4499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  On )
22 r1fnon 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R1  Fn  On
23 fndm 5308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
2422, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R1  =  On
2521, 24syl6eleqr 2375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  dom  R1 )
26 rankr1id 7529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2725, 26sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2827eqcomd 2289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
29 fvex 5499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
30 fveq2 5485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
3130eqeq2d 2295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  (
y  =  ( rank `  z )  <->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) ) )
3229, 31spcev 2876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) )  ->  E. z  y  =  ( rank `  z
) )
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  E. z 
y  =  ( rank `  z ) )
3433ancli 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
3519, 34impbii 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3615, 18, 353bitr3i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( ( rank `  z )  e.  (
rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3714, 36sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( rank `  x
) )
3811, 37sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  ->  y  e.  ( rank `  x )
)
3938abssi 3249 . . . . . 6  |-  { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)
40 uniss 3849 . . . . . 6  |-  ( { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)  ->  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x ) )
4139, 40ax-mp 10 . . . . 5  |-  U. {
y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x )
4210, 41eqsstri 3209 . . . 4  |-  ( rank `  U. x )  C_  U. ( rank `  x
)
43 pwuni 4205 . . . . . . . 8  |-  x  C_  ~P U. x
446uniex 4515 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
4544pwex 4192 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. x  e.  _V
4645rankss 7516 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ~P U. x  -> 
( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x ) )
4743, 46ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x
)
4844rankpw 7510 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ~P U. x )  =  suc  ( rank `  U. x )
4947, 48sseqtri 3211 . . . . . 6  |-  ( rank `  x )  C_  suc  ( rank `  U. x )
50 uniss 3849 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  C_ 
suc  ( rank `  U. x )  ->  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x ) )
5149, 50ax-mp 10 . . . . 5  |-  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x )
52 rankon 7462 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  e.  On
5352onunisuci 4505 . . . . 5  |-  U. suc  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. x )
5451, 53sseqtri 3211 . . . 4  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. x )
5542, 54eqssi 3196 . . 3  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
565, 55vtoclg 2844 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
57 uniexb 4562 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
58 fvprc 5482 . . . . 5  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  (/) )
5957, 58sylnbi 299 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  (/) )
60 uni0 3855 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
6159, 60syl6eqr 2334 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. (/) )
62 fvprc 5482 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  A )  =  (/) )
6362unieqd 3839 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( rank `  A
)  =  U. (/) )
6461, 63eqtr4d 2319 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
6556, 64pm2.61i 158 1  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    /\ wa 360   E.wex 1529    = wceq 1624    e. wcel 1685   {cab 2270   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ~Pcpw 3626   U.cuni 3828   U_ciun 3906   Oncon0 4391   suc csuc 4393   dom cdm 4688    Fn wfn 5216   ` cfv 5221   R1cr1 7429   rankcrnk 7430
This theorem is referenced by:  rankuniss  7533  rankbnd2  7536  rankxplim2  7545  rankxplim3  7546  rankxpsuc  7547  r1limwun  8353  hfuni  24221
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-reg 7301  ax-inf2 7337
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-r1 7431  df-rank 7432
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