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Theorem rankuni 7489
Description: The rank of a union. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. (Contributed by NM, 15-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankuni  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)

Proof of Theorem rankuni
StepHypRef Expression
1 unieq 3796 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
21fveq2d 5448 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. A ) )
3 fveq2 5444 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( rank `  x )  =  ( rank `  A
) )
43unieqd 3798 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  U. ( rank `  x )  = 
U. ( rank `  A
) )
52, 4eqeq12d 2270 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( rank `  U. x )  =  U. ( rank `  x )  <->  ( rank ` 
U. A )  = 
U. ( rank `  A
) ) )
6 vex 2760 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
76rankuni2 7481 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U_ z  e.  x  ( rank `  z )
8 fvex 5458 . . . . . . 7  |-  ( rank `  z )  e.  _V
98dfiun2 3897 . . . . . 6  |-  U_ z  e.  x  ( rank `  z )  =  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
) }
107, 9eqtri 2276 . . . . 5  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }
11 df-rex 2522 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  <->  E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
126rankel 7465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  x  ->  ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
) )
1312anim1i 554 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z ) )  -> 
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
1413eximi 1574 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  E. z
( ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) ) )
15 19.42v 2039 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
16 eleq1 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( rank `  z
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  <->  ( rank `  z
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1716pm5.32ri 622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z
) )  <->  ( ( rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
1817exbii 1580 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
)  <->  E. z ( (
rank `  z )  e.  ( rank `  x
)  /\  y  =  ( rank `  z )
) )
19 simpl 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  ->  y  e.  (
rank `  x )
)
20 rankon 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( rank `  x )  e.  On
2120oneli 4458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  On )
22 r1fnon 7393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  R1  Fn  On
23 fndm 5267 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
2422, 23ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  dom  R1  =  On
2521, 24syl6eleqr 2347 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  e.  dom  R1 )
26 rankr1id 7488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2725, 26sylib 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  ( R1 `  y
) )  =  y )
2827eqcomd 2261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
29 fvex 5458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
30 fveq2 5444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  ( rank `  z )  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) )
3130eqeq2d 2267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( R1 `  y )  ->  (
y  =  ( rank `  z )  <->  y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) ) ) )
3229, 31cla4ev 2843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( rank `  ( R1 `  y ) )  ->  E. z  y  =  ( rank `  z
) )
3328, 32syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  E. z 
y  =  ( rank `  z ) )
3433ancli 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( rank `  x
)  ->  ( y  e.  ( rank `  x
)  /\  E. z 
y  =  ( rank `  z ) ) )
3519, 34impbii 182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( rank `  x )  /\  E. z  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3615, 18, 353bitr3i 268 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z ( ( rank `  z )  e.  (
rank `  x )  /\  y  =  ( rank `  z ) )  <-> 
y  e.  ( rank `  x ) )
3714, 36sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( E. z ( z  e.  x  /\  y  =  ( rank `  z
) )  ->  y  e.  ( rank `  x
) )
3811, 37sylbi 189 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z
)  ->  y  e.  ( rank `  x )
)
3938abssi 3209 . . . . . 6  |-  { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)
40 uniss 3808 . . . . . 6  |-  ( { y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  ( rank `  x
)  ->  U. { y  |  E. z  e.  x  y  =  (
rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x ) )
4139, 40ax-mp 10 . . . . 5  |-  U. {
y  |  E. z  e.  x  y  =  ( rank `  z ) }  C_  U. ( rank `  x )
4210, 41eqsstri 3169 . . . 4  |-  ( rank `  U. x )  C_  U. ( rank `  x
)
43 pwuni 4164 . . . . . . . 8  |-  x  C_  ~P U. x
446uniex 4474 . . . . . . . . . 10  |-  U. x  e.  _V
4544pwex 4151 . . . . . . . . 9  |-  ~P U. x  e.  _V
4645rankss 7475 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  ~P U. x  -> 
( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x ) )
4743, 46ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  C_  ( rank `  ~P U. x
)
4844rankpw 7469 . . . . . . 7  |-  ( rank `  ~P U. x )  =  suc  ( rank `  U. x )
4947, 48sseqtri 3171 . . . . . 6  |-  ( rank `  x )  C_  suc  ( rank `  U. x )
50 uniss 3808 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  C_ 
suc  ( rank `  U. x )  ->  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x ) )
5149, 50ax-mp 10 . . . . 5  |-  U. ( rank `  x )  C_  U.
suc  ( rank `  U. x )
52 rankon 7421 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  e.  On
5352onunisuci 4464 . . . . 5  |-  U. suc  ( rank `  U. x )  =  ( rank `  U. x )
5451, 53sseqtri 3171 . . . 4  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. x )
5542, 54eqssi 3156 . . 3  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
565, 55vtoclg 2811 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
57 uniexb 4521 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  <->  U. A  e. 
_V )
58 fvprc 5441 . . . . 5  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  ( rank `  U. A )  =  (/) )
5957, 58sylnbi 299 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  (/) )
60 uni0 3814 . . . 4  |-  U. (/)  =  (/)
6159, 60syl6eqr 2306 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. (/) )
62 fvprc 5441 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  A )  =  (/) )
6362unieqd 3798 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. ( rank `  A
)  =  U. (/) )
6461, 63eqtr4d 2291 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
rank `  U. A )  =  U. ( rank `  A ) )
6556, 64pm2.61i 158 1  |-  ( rank `  U. A )  = 
U. ( rank `  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    C_ wss 3113   (/)c0 3416   ~Pcpw 3585   U.cuni 3787   U_ciun 3865   Oncon0 4350   suc csuc 4352   dom cdm 4647    Fn wfn 4654   ` cfv 4659   R1cr1 7388   rankcrnk 7389
This theorem is referenced by:  rankuniss  7492  rankbnd2  7495  rankxplim2  7504  rankxplim3  7505  rankxpsuc  7506  r1limwun  8312  hfuni  24175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-reg 7260  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-r1 7390  df-rank 7391
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