Theorem rankuni2 4670

Description: The rank of a union. Part of Theorem 15.17(iv) of [Monk1] p. 112.

Hypothesis

Ref	Expression
ranksn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
rankuni2	|- (rank` U.A) = U_x e. A (rank` x)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rankuni2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ranksn.1	. . . . 5 |- A e. V
2	1	uniex 2865	. . . 4 |- U.A e. V
3	2	rankval3 4661	. . 3 |- (rank` U.A) = |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z}
4		eleq2 1532	. . . . . . 7 |- (z = U_x e. A (rank` x) -> ((rank` y) e. z <-> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
5	4	ralbidv 1660	. . . . . 6 |- (z = U_x e. A (rank` x) -> (A.y e. U.A(rank` y) e. z <-> A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
6	5	elrab 1901	. . . . 5 |- (U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} <-> (U_x e. A (rank` x) e. On /\ A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
7		fvex 3723	. . . . . . 7 |- (rank` x) e. V
8	1, 7	iunon 3900	. . . . . 6 |- (A.x e. A (rank` x) e. On -> U_x e. A (rank` x) e. On)
9		rankon 4651	. . . . . . 7 |- (rank` x) e. On
10	9	a1i 8	. . . . . 6 |- (x e. A -> (rank` x) e. On)
11	8, 10	mprg 1697	. . . . 5 |- U_x e. A (rank` x) e. On
12		eluni2 2502	. . . . . . 7 |- (y e. U.A <-> E.x e. A y e. x)
13		ax-17 969	. . . . . . . . 9 |- (z e. (rank` y) -> A.x z e. (rank` y))
14		hbiu1 2579	. . . . . . . . 9 |- (z e. U_x e. A (rank` x) -> A.x z e. U_x e. A (rank` x))
15	13, 14	hbel 1563	. . . . . . . 8 |- ((rank` y) e. U_x e. A (rank` x) -> A.x(rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
16		ssiun2 2588	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (rank` x) (_ U_x e. A (rank` x))
17	16	sseld 2063	. . . . . . . . 9 |- (x e. A -> ((rank` y) e. (rank` x) -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
18		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- x e. V
19	18	rankel 4660	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> (rank` y) e. (rank` x))
20	17, 19	syl5 21	. . . . . . . 8 |- (x e. A -> (y e. x -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x)))
21	15, 20	r19.23ai 1739	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. x -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
22	12, 21	sylbi 199	. . . . . 6 |- (y e. U.A -> (rank` y) e. U_x e. A (rank` x))
23	22	rgen 1695	. . . . 5 |- A.y e. U.A(rank` y) e. U_x e. A (rank` x)
24	6, 11, 23	mpbir2an 729	. . . 4 |- U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z}
25		intss1 2543	. . . 4 |- (U_x e. A (rank` x) e. {z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} -> |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} (_ U_x e. A (rank` x))
26	24, 25	ax-mp 7	. . 3 |- |^|{z e. On | A.y e. U.A(rank` y) e. z} (_ U_x e. A (rank` x)
27	3, 26	eqsstr 2087	. 2 |- (rank` U.A) (_ U_x e. A (rank` x)
28		iunss 2586	. . 3 |- (U_x e. A (rank` x) (_ (rank` U.A) <-> A.x e. A (rank` x) (_ (rank` U.A))
29		elssuni 2521	. . . 4 |- (x e. A -> x (_ U.A)
30	2	rankss 4668	. . . 4 |- (x (_ U.A -> (rank` x) (_ (rank` U.A))
31	29, 30	syl 10	. . 3 |- (x e. A -> (rank` x) (_ (rank` U.A))
32	28, 31	mprgbir 1698	. 2 |- U_x e. A (rank` x) (_ (rank` U.A)
33	27, 32	eqssi 2074	1 |- (rank` U.A) = U_x e. A (rank` x)

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E.wrex 1643  {crab 1645  Vcvv 1807   (_ wss 2043  U.cuni 2498  |^|cint 2528  U_ciun 2561  Oncon0 2943  ` cfv 3177  rankcrnk 4622

This theorem is referenced by:  rankuni 4678  rankbnd2 4684

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-r1 4623  df-rank 4624

Copyright terms: Public domain