MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankuni2b Unicode version

Theorem rankuni2b 7409
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
rankuni2b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem rankuni2b
StepHypRef Expression
1 uniwf 7375 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  U. A  e. 
U. ( R1 " On ) )
2 rankval3b 7382 . . . 4  |-  ( U. A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( rank `  U. A )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z } )
31, 2sylbi 189 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z } )
4 iuneq1 3816 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) )
54eleq1d 2319 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( U_ x  e.  y 
( rank `  x )  e.  On  <->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On ) )
6 vex 2730 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
7 rankon 7351 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  x )  e.  On
87rgenw 2572 . . . . . . 7  |-  A. x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On
9 iunon 6241 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  _V  /\  A. x  e.  y  (
rank `  x )  e.  On )  ->  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On )
106, 8, 9mp2an 656 . . . . . 6  |-  U_ x  e.  y  ( rank `  x )  e.  On
115, 10vtoclg 2781 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On )
12 eluni2 3731 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  x )
13 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ x  A  e.  U. ( R1 " On )
14 nfiu1 3831 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x U_ x  e.  A  ( rank `  x )
1514nfel2 2397 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
16 r1elssi 7361 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
1716sseld 3102 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
18 rankelb 7380 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x ) ) )
1917, 18syl6 31 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x ) ) ) )
20 ssiun2 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  C_  U_ x  e.  A  (
rank `  x )
)
2120sseld 3102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( rank `  y )  e.  ( rank `  x
)  ->  ( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2221a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( rank `  y
)  e.  ( rank `  x )  ->  ( rank `  y )  e. 
U_ x  e.  A  ( rank `  x )
) ) )
2319, 22syldd 63 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) ) )
2413, 15, 23rexlimd 2626 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( E. x  e.  A  y  e.  x  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2512, 24syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  U. A  ->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2625ralrimiv 2587 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  U. A
( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
27 eleq2 2314 . . . . . . 7  |-  ( z  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  z  <->  ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2827ralbidv 2527 . . . . . 6  |-  ( z  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
)  ->  ( A. y  e.  U. A (
rank `  y )  e.  z  <->  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
2928elrab 2860 . . . . 5  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e. 
{ z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z }  <-> 
( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  On  /\  A. y  e.  U. A ( rank `  y )  e.  U_ x  e.  A  ( rank `  x ) ) )
3011, 26, 29sylanbrc 648 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e.  { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z } )
31 intss1 3775 . . . 4  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  e. 
{ z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z }  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y )  e.  z }  C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
3230, 31syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { z  e.  On  |  A. y  e.  U. A ( rank `  y
)  e.  z } 
C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
333, 32eqsstrd 3133 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A ) 
C_  U_ x  e.  A  ( rank `  x )
)
341biimpi 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U. A  e.  U. ( R1 " On ) )
35 elssuni 3753 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  ->  x  C_ 
U. A )
36 rankssb 7404 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  U. ( R1 " On )  -> 
( x  C_  U. A  ->  ( rank `  x
)  C_  ( rank ` 
U. A ) ) )
3734, 35, 36syl2im 36 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( x  e.  A  ->  ( rank `  x
)  C_  ( rank ` 
U. A ) ) )
3837ralrimiv 2587 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
39 iunss 3841 . . 3  |-  ( U_ x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A )  <->  A. x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
4038, 39sylibr 205 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  U_ x  e.  A  ( rank `  x )  C_  ( rank `  U. A ) )
4133, 40eqssd 3117 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  U. A )  =  U_ x  e.  A  ( rank `  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   E.wrex 2510   {crab 2512   _Vcvv 2727    C_ wss 3078   U.cuni 3727   |^|cint 3760   U_ciun 3803   Oncon0 4285   "cima 4583   ` cfv 4592   R1cr1 7318   rankcrnk 7319
This theorem is referenced by:  rankuni2  7411  rankcf  8279
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
  Copyright terms: Public domain W3C validator