MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval2 Unicode version

Theorem rankval2 7374
Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
rankval2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) } )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rankval2
StepHypRef Expression
1 rankvalg 7373 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) } )
2 r1suc 7326 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( R1 `  suc  x )  =  ~P ( R1
`  x ) )
32eleq2d 2320 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  x )  <->  A  e.  ~P ( R1 `  x
) ) )
4 fvex 5391 . . . . . 6  |-  ( R1
`  x )  e. 
_V
54elpw2 4064 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  x )  <->  A  C_  ( R1 `  x ) )
63, 5syl6bb 254 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  x )  <->  A  C_  ( R1 `  x ) ) )
76rabbiia 2717 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) }  =  { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) }
87inteqi 3764 . 2  |-  |^| { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) }  =  |^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) }
91, 8syl6eq 2301 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2512    C_ wss 3078   ~Pcpw 3530   |^|cint 3760   Oncon0 4285   suc csuc 4287   ` cfv 4592   R1cr1 7318   rankcrnk 7319
This theorem is referenced by:  rankval4  7423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-reg 7190  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-r1 7320  df-rank 7321
  Copyright terms: Public domain W3C validator