MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval2 Unicode version

Theorem rankval2 7458
Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478. (Contributed by NM, 8-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
rankval2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) } )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem rankval2
StepHypRef Expression
1 rankvalg 7457 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) } )
2 r1suc 7410 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( R1 `  suc  x )  =  ~P ( R1
`  x ) )
32eleq2d 2325 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  x )  <->  A  e.  ~P ( R1 `  x
) ) )
4 fvex 5472 . . . . . 6  |-  ( R1
`  x )  e. 
_V
54elpw2 4142 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~P ( R1
`  x )  <->  A  C_  ( R1 `  x ) )
63, 5syl6bb 254 . . . 4  |-  ( x  e.  On  ->  ( A  e.  ( R1 ` 
suc  x )  <->  A  C_  ( R1 `  x ) ) )
76rabbiia 2753 . . 3  |-  { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) }  =  { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) }
87inteqi 3840 . 2  |-  |^| { x  e.  On  |  A  e.  ( R1 `  suc  x ) }  =  |^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) }
91, 8syl6eq 2306 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( rank `  A )  = 
|^| { x  e.  On  |  A  C_  ( R1
`  x ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   {crab 2522    C_ wss 3127   ~Pcpw 3599   |^|cint 3836   Oncon0 4364   suc csuc 4366   ` cfv 4673   R1cr1 7402   rankcrnk 7403
This theorem is referenced by:  rankval4  7507
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
  Copyright terms: Public domain W3C validator