Theorem rankval2 4650

Description: Value of an alternate definition of the rank function. Definition of [BellMachover] p. 478.

Assertion

Ref	Expression
rankval2	|- (A e. B -> (rank` A) = |^|{x e. On | A (_ (R1` x)})

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem rankval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankvalg 4649	. 2 |- (A e. B -> (rank` A) = |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)})
2		r1suc 4632	. . . . . 6 |- (x e. On -> (R1` suc x) = P~(R1` x))
3	2	eleq2d 1538	. . . . 5 |- (x e. On -> (A e. (R1` suc x) <-> A e. P~(R1` x)))
4		fvex 3723	. . . . . 6 |- (R1` x) e. V
5	4	elpw2 2723	. . . . 5 |- (A e. P~(R1` x) <-> A (_ (R1` x))
6	3, 5	syl6bb 535	. . . 4 |- (x e. On -> (A e. (R1` suc x) <-> A (_ (R1` x)))
7	6	rabbii 1801	. . 3 |- {x e. On | A e. (R1` suc x)} = {x e. On | A (_ (R1` x)}
8	7	inteqi 2532	. 2 |- |^|{x e. On | A e. (R1` suc x)} = |^|{x e. On | A (_ (R1` x)}
9	1, 8	syl6eq 1520	1 |- (A e. B -> (rank` A) = |^|{x e. On | A (_ (R1` x)})

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 954   e. wcel 956  {crab 1645   (_ wss 2043  P~cpw 2397  |^|cint 2528  Oncon0 2943  suc csuc 2945  ` cfv 3177  R1cr1 4621  rankcrnk 4622

This theorem is referenced by:  rankeq0 4676  rankr1id 4677  rankval4 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-r1 4623  df-rank 4624

Copyright terms: Public domain