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Theorem rankval3b 7741
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 7710 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  A )  e.  On
2 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  ->  x  e.  On )
3 ontri1 4607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
41, 2, 3sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
54con2bid 320 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  C_  x )
)
6 r1elssi 7720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
76adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
87sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
9 rankdmr1 7716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
10 r1funlim 7681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1110simpri 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Lim  dom  R1
12 limord 4632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
13 ordtr1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 ) )
1411, 12, 13mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 )
159, 14mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( rank `  A
)  ->  x  e.  dom  R1 )
1615ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  dom  R1 )
17 rankr1ag 7717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( y  e.  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  y
)  e.  x ) )
188, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  ( rank `  y )  e.  x
) )
1918ralbidva 2713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  -> 
( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )
2019biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2120an32s 780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
22 dfss3 3330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2321, 22sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
24 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
2515adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  x  e.  dom  R1 )
26 rankr1bg 7718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( rank `  A )  C_  x ) )
2724, 25, 26syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( A  C_  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
2823, 27mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
)
2928ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x )  ->  (
x  e.  ( rank `  A )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
3029adantrl 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
315, 30sylbird 227 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( -.  ( rank `  A )  C_  x  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
3231pm2.18d 105 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( rank `  A )  C_  x )
3332ex 424 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3433alrimiv 1641 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
35 ssintab 4059 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) }  <->  A. x
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3634, 35sylibr 204 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) } )
37 df-rab 2706 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3837inteqi 4046 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3936, 38syl6sseqr 3387 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
40 rankelb 7739 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  A  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4140ralrimiv 2780 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) )
42 eleq2 2496 . . . . 5  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4342ralbidv 2717 . . . 4  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) ) )
4443onintss 4623 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A
) ) )
451, 41, 44mpsyl 61 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A ) )
4639, 45eqssd 3357 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   U.cuni 4007   |^|cint 4042   Ord word 4572   Oncon0 4573   Lim wlim 4574   dom cdm 4869   "cima 4872   Fun wfun 5439   ` cfv 5445   R1cr1 7677   rankcrnk 7678
This theorem is referenced by:  ranksnb  7742  rankonidlem  7743  rankval3  7755  rankunb  7765  rankuni2b  7768  tcrank  7797
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-r1 7679  df-rank 7680
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