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Theorem rankval3b 7466
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 7435 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  A )  e.  On
2 simprl 735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  ->  x  e.  On )
3 ontri1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
41, 2, 3sylancr 647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
54con2bid 321 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  C_  x )
)
6 r1elssi 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
76adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
87sselda 3155 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
9 rankdmr1 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
10 r1funlim 7406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1110simpri 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Lim  dom  R1
12 limord 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
13 ordtr1 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 ) )
1411, 12, 13mp2b 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 )
159, 14mpan2 655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( rank `  A
)  ->  x  e.  dom  R1 )
1615ad2antlr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  dom  R1 )
17 rankr1ag 7442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( y  e.  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  y
)  e.  x ) )
188, 16, 17syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  ( rank `  y )  e.  x
) )
1918ralbidva 2534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  -> 
( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )
2019biimpar 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2120an32s 782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
22 dfss3 3145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2321, 22sylibr 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
24 simpll 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
2515adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  x  e.  dom  R1 )
26 rankr1bg 7443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( rank `  A )  C_  x ) )
2724, 25, 26syl2anc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( A  C_  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
2823, 27mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
)
2928ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x )  ->  (
x  e.  ( rank `  A )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
3029adantrl 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
315, 30sylbird 228 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( -.  ( rank `  A )  C_  x  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
3231pm2.18d 105 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( rank `  A )  C_  x )
3332ex 425 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3433alrimiv 2013 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
35 ssintab 3853 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) }  <->  A. x
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3634, 35sylibr 205 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) } )
37 df-rab 2527 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3837inteqi 3840 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3936, 38syl6sseqr 3200 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
40 rankelb 7464 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  A  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4140ralrimiv 2600 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) )
42 eleq2 2319 . . . . 5  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4342ralbidv 2538 . . . 4  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) ) )
4443onintss 4414 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A
) ) )
451, 41, 44mpsyl 61 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A ) )
4639, 45eqssd 3171 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1532    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   A.wral 2518   {crab 2522    C_ wss 3127   U.cuni 3801   |^|cint 3836   Ord word 4363   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   dom cdm 4661   "cima 4664   Fun wfun 4667   ` cfv 4673   R1cr1 7402   rankcrnk 7403
This theorem is referenced by:  ranksnb  7467  rankonidlem  7468  rankval3  7480  rankunb  7490  rankuni2b  7493  tcrank  7522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
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