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Theorem rankval3b 7514
Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rankval3b  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem rankval3b
StepHypRef Expression
1 rankon 7483 . . . . . . . . . 10  |-  ( rank `  A )  e.  On
2 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  ->  x  e.  On )
3 ontri1 4442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  A
)  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
41, 2, 3sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( ( rank `  A
)  C_  x  <->  -.  x  e.  ( rank `  A
) ) )
54con2bid 319 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  <->  -.  ( rank `  A
)  C_  x )
)
6 r1elssi 7493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
76adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
87sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
9 rankdmr1 7489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
10 r1funlim 7454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
1110simpri 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Lim  dom  R1
12 limord 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
13 ordtr1 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 ) )
1411, 12, 13mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  A )  e. 
dom  R1 )  ->  x  e.  dom  R1 )
159, 14mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( rank `  A
)  ->  x  e.  dom  R1 )
1615ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  x  e.  dom  R1 )
17 rankr1ag 7490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( y  e.  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  y
)  e.  x ) )
188, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  y  e.  A )  ->  (
y  e.  ( R1
`  x )  <->  ( rank `  y )  e.  x
) )
1918ralbidva 2572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  ( rank `  A ) )  -> 
( A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )
2019biimpar 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2120an32s 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
22 dfss3 3183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ( R1 `  x )  <->  A. y  e.  A  y  e.  ( R1 `  x ) )
2321, 22sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  C_  ( R1 `  x ) )
24 simpll 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
2515adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  x  e.  dom  R1 )
26 rankr1bg 7491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  ( A  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( rank `  A )  C_  x ) )
2724, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( A  C_  ( R1 `  x
)  <->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
2823, 27mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y
)  e.  x )  /\  x  e.  (
rank `  A )
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
)
2928ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x )  ->  (
x  e.  ( rank `  A )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
3029adantrl 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( x  e.  (
rank `  A )  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
315, 30sylbird 226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( -.  ( rank `  A )  C_  x  ->  ( rank `  A
)  C_  x )
)
3231pm2.18d 103 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( x  e.  On  /\ 
A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x ) )  -> 
( rank `  A )  C_  x )
3332ex 423 . . . . 5  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3433alrimiv 1621 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. x ( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x )  ->  ( rank `  A )  C_  x ) )
35 ssintab 3895 . . . 4  |-  ( (
rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) }  <->  A. x
( ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
)  ->  ( rank `  A )  C_  x
) )
3634, 35sylibr 203 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  (
rank `  y )  e.  x ) } )
37 df-rab 2565 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3837inteqi 3882 . . 3  |-  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  =  |^| { x  |  ( x  e.  On  /\  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x
) }
3936, 38syl6sseqr 3238 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  C_ 
|^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
40 rankelb 7512 . . . 4  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( y  e.  A  ->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4140ralrimiv 2638 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) )
42 eleq2 2357 . . . . 5  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( ( rank `  y )  e.  x  <->  ( rank `  y
)  e.  ( rank `  A ) ) )
4342ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( x  =  ( rank `  A
)  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x  <->  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
) ) )
4443onintss 4458 . . 3  |-  ( (
rank `  A )  e.  On  ->  ( A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  ( rank `  A
)  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A
) ) )
451, 41, 44mpsyl 59 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x }  C_  ( rank `  A ) )
4639, 45eqssd 3209 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( rank `  A )  =  |^| { x  e.  On  |  A. y  e.  A  ( rank `  y )  e.  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   U.cuni 3843   |^|cint 3878   Ord word 4407   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   dom cdm 4705   "cima 4708   Fun wfun 5265   ` cfv 5271   R1cr1 7450   rankcrnk 7451
This theorem is referenced by:  ranksnb  7515  rankonidlem  7516  rankval3  7528  rankunb  7538  rankuni2b  7541  tcrank  7570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-r1 7452  df-rank 7453
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