Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rankval4 Structured version   Unicode version

Theorem rankval4 7829
 Description: The rank of a set is the supremum of the successors of the ranks of its members. Exercise 9.1 of [Jech] p. 72. Also a special case of Theorem 7V(b) of [Enderton] p. 204. (Contributed by NM, 12-Oct-2003.)
Hypothesis
Ref Expression
rankr1b.1
Assertion
Ref Expression
rankval4
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem rankval4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2579 . . . . . 6
2 nfcv 2579 . . . . . . 7
3 nfiu1 4151 . . . . . . 7
42, 3nffv 5770 . . . . . 6
51, 4dfss2f 3328 . . . . 5
6 vex 2968 . . . . . . 7
76rankid 7795 . . . . . 6
8 ssiun2 4164 . . . . . . . 8
9 rankon 7757 . . . . . . . . . 10
109onsuci 4853 . . . . . . . . 9
11 rankr1b.1 . . . . . . . . . 10
1210rgenw 2780 . . . . . . . . . 10
13 iunon 6636 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13mp2an 655 . . . . . . . . 9
15 r1ord3 7744 . . . . . . . . 9
1610, 14, 15mp2an 655 . . . . . . . 8
178, 16syl 16 . . . . . . 7
1817sseld 3336 . . . . . 6
197, 18mpi 17 . . . . 5
205, 19mpgbir 1560 . . . 4
21 fvex 5773 . . . . 5
2221rankss 7811 . . . 4
2320, 22ax-mp 5 . . 3
24 r1ord3 7744 . . . . . . 7
2514, 24mpan 653 . . . . . 6
2625ss2rabi 3414 . . . . 5
27 intss 4100 . . . . 5
2826, 27ax-mp 5 . . . 4
29 rankval2 7780 . . . . 5
3021, 29ax-mp 5 . . . 4
31 intmin 4099 . . . . . 6
3214, 31ax-mp 5 . . . . 5
3332eqcomi 2447 . . . 4
3428, 30, 333sstr4i 3376 . . 3
3523, 34sstri 3346 . 2
36 iunss 4162 . . 3
3711rankel 7801 . . . 4
38 rankon 7757 . . . . 5
399, 38onsucssi 4856 . . . 4
4037, 39sylib 190 . . 3
4136, 40mprgbir 2783 . 2
4235, 41eqssi 3353 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1654   wcel 1728  wral 2712  crab 2716  cvv 2965   wss 3309  cint 4079  ciun 4122  con0 4616   csuc 4618  cfv 5489  cr1 7724  crnk 7725 This theorem is referenced by:  rankbnd  7830  rankc1  7832 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4351  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736  ax-reg 7596  ax-inf2 7632 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-tp 3851  df-op 3852  df-uni 4045  df-int 4080  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-tr 4334  df-eprel 4529  df-id 4533  df-po 4538  df-so 4539  df-fr 4576  df-we 4578  df-ord 4619  df-on 4620  df-lim 4621  df-suc 4622  df-om 4881  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-f 5493  df-f1 5494  df-fo 5495  df-f1o 5496  df-fv 5497  df-recs 6669  df-rdg 6704  df-r1 7726  df-rank 7727
 Copyright terms: Public domain W3C validator