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Theorem rankxplim 7767
Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 7770 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem rankxplim
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwuni 4363 . . . . . . . . . 10  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P U.
<. x ,  y >.
2 vex 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 2927 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3uniop 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
54pweqi 3771 . . . . . . . . . 10  |-  ~P U. <. x ,  y >.  =  ~P { x ,  y }
61, 5sseqtri 3348 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P { x ,  y }
7 pwuni 4363 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  C_  ~P U. { x ,  y }
82, 3unipr 3997 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
98pweqi 3771 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P U. { x ,  y }  =  ~P (
x  u.  y )
107, 9sseqtri 3348 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  C_  ~P ( x  u.  y
)
11 sspwb 4381 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  ~P ( x  u.  y )  <->  ~P { x ,  y }  C_  ~P ~P ( x  u.  y ) )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x ,  y } 
C_  ~P ~P ( x  u.  y )
136, 12sstri 3325 . . . . . . . 8  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P ~P ( x  u.  y
)
142, 3unex 4674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1514pwex 4350 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
x  u.  y )  e.  _V
1615pwex 4350 . . . . . . . . 9  |-  ~P ~P ( x  u.  y
)  e.  _V
1716rankss 7739 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  C_ 
~P ~P ( x  u.  y )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) ) )
1813, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2019rankel 7729 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2221rankel 7729 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )
232, 3, 19, 21rankelun 7762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
2420, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
26 ranklim 7734 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
27 ranklim 7734 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2826, 27bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2928adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) )  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
3025, 29mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
31 rankon 7685 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  On
32 rankon 7685 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
33 ontr2 4596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On )  ->  ( ( (
rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  /\  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  /\  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3518, 30, 34sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3631, 32onsucssi 4788 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
3735, 36sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3837ralrimivva 2766 . . . 4  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
39 fveq2 5695 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( rank `  z
)  =  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
40 suceq 4614 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  z )  =  ( rank `  <. x ,  y >. )  ->  suc  ( rank `  z
)  =  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  suc  ( rank `  z )  =  suc  ( rank `  <. x ,  y >. ) )
4241sseq1d 3343 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
4342ralxp 4983 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
4419, 21xpex 4957 . . . . . 6  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4544rankbnd 7758 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4643, 45bitr3i 243 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4738, 46sylib 189 . . 3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4847adantr 452 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4919, 21rankxpl 7765 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5049adantl 453 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5148, 50eqssd 3333 1  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   A.wral 2674   _Vcvv 2924    u. cun 3286    C_ wss 3288   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   {cpr 3783   <.cop 3785   U.cuni 3983   Oncon0 4549   Lim wlim 4550   suc csuc 4551    X. cxp 4843   ` cfv 5421   rankcrnk 7653
This theorem is referenced by:  rankxplim3  7769
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-reg 7524  ax-inf2 7560
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-r1 7654  df-rank 7655
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