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Theorem rankxplim 7551
Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 7554 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem rankxplim
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwuni 4208 . . . . . . . . . 10  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P U.
<. x ,  y >.
2 vex 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 2793 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3uniop 4271 . . . . . . . . . . 11  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
54pweqi 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ~P U. <. x ,  y >.  =  ~P { x ,  y }
61, 5sseqtri 3212 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P { x ,  y }
7 pwuni 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  C_  ~P U. { x ,  y }
82, 3unipr 3843 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
98pweqi 3631 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P U. { x ,  y }  =  ~P (
x  u.  y )
107, 9sseqtri 3212 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  C_  ~P ( x  u.  y
)
11 sspwb 4225 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  ~P ( x  u.  y )  <->  ~P { x ,  y }  C_  ~P ~P ( x  u.  y ) )
1210, 11mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x ,  y } 
C_  ~P ~P ( x  u.  y )
136, 12sstri 3190 . . . . . . . 8  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P ~P ( x  u.  y
)
142, 3unex 4520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1514pwex 4195 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
x  u.  y )  e.  _V
1615pwex 4195 . . . . . . . . 9  |-  ~P ~P ( x  u.  y
)  e.  _V
1716rankss 7523 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  C_ 
~P ~P ( x  u.  y )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) ) )
1813, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2019rankel 7513 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2221rankel 7513 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )
232, 3, 19, 21rankelun 7546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
2420, 22, 23syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2524adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
26 ranklim 7518 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
27 ranklim 7518 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2826, 27bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) )  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
3025, 29mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
31 rankon 7469 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  On
32 rankon 7469 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
33 ontr2 4441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On )  ->  ( ( (
rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  /\  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  /\  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3518, 30, 34sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3631, 32onsucssi 4634 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
3735, 36sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3837ralrimivva 2637 . . . 4  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
39 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( rank `  z
)  =  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
40 suceq 4459 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  z )  =  ( rank `  <. x ,  y >. )  ->  suc  ( rank `  z
)  =  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
4139, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  suc  ( rank `  z )  =  suc  ( rank `  <. x ,  y >. ) )
4241sseq1d 3207 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
4342ralxp 4829 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
4419, 21xpex 4803 . . . . . 6  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4544rankbnd 7542 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4643, 45bitr3i 242 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4738, 46sylib 188 . . 3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4847adantr 451 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4919, 21rankxpl 7549 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5049adantl 452 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5148, 50eqssd 3198 1  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   _Vcvv 2790    u. cun 3152    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   {cpr 3643   <.cop 3645   U.cuni 3829   Oncon0 4394   Lim wlim 4395   suc csuc 4396    X. cxp 4689   ` cfv 5257   rankcrnk 7437
This theorem is referenced by:  rankxplim3  7553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-reg 7308  ax-inf2 7344
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-r1 7438  df-rank 7439
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