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Theorem rankxplim 7517
Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 7520 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem rankxplim
StepHypRef Expression
1 pwuni 4178 . . . . . . . . . 10  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P U.
<. x ,  y >.
2 vex 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 2766 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3uniop 4241 . . . . . . . . . . 11  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
54pweqi 3603 . . . . . . . . . 10  |-  ~P U. <. x ,  y >.  =  ~P { x ,  y }
61, 5sseqtri 3185 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P { x ,  y }
7 pwuni 4178 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  C_  ~P U. { x ,  y }
82, 3unipr 3815 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
98pweqi 3603 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P U. { x ,  y }  =  ~P (
x  u.  y )
107, 9sseqtri 3185 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  C_  ~P ( x  u.  y
)
11 sspwb 4195 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  ~P ( x  u.  y )  <->  ~P { x ,  y }  C_  ~P ~P ( x  u.  y ) )
1210, 11mpbi 201 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x ,  y } 
C_  ~P ~P ( x  u.  y )
136, 12sstri 3163 . . . . . . . 8  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P ~P ( x  u.  y
)
142, 3unex 4490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1514pwex 4165 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
x  u.  y )  e.  _V
1615pwex 4165 . . . . . . . . 9  |-  ~P ~P ( x  u.  y
)  e.  _V
1716rankss 7489 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  C_ 
~P ~P ( x  u.  y )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) ) )
1813, 17ax-mp 10 . . . . . . 7  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2019rankel 7479 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2221rankel 7479 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )
232, 3, 19, 21rankelun 7512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
2420, 22, 23syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2524adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
26 ranklim 7484 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
27 ranklim 7484 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2826, 27bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2928adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) )  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
3025, 29mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
31 rankon 7435 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  On
32 rankon 7435 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
33 ontr2 4411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On )  ->  ( ( (
rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  /\  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  /\  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3518, 30, 34sylancr 647 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3631, 32onsucssi 4604 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
3735, 36sylib 190 . . . . 5  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3837ralrimivva 2610 . . . 4  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
39 fveq2 5458 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( rank `  z
)  =  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
40 suceq 4429 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  z )  =  ( rank `  <. x ,  y >. )  ->  suc  ( rank `  z
)  =  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  suc  ( rank `  z )  =  suc  ( rank `  <. x ,  y >. ) )
4241sseq1d 3180 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
4342ralxp 4815 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
4419, 21xpex 4789 . . . . . 6  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4544rankbnd 7508 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4643, 45bitr3i 244 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4738, 46sylib 190 . . 3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4847adantr 453 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4919, 21rankxpl 7515 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5049adantl 454 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5148, 50eqssd 3171 1  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   _Vcvv 2763    u. cun 3125    C_ wss 3127   (/)c0 3430   ~Pcpw 3599   {cpr 3615   <.cop 3617   U.cuni 3801   Oncon0 4364   Lim wlim 4365   suc csuc 4366    X. cxp 4659   ` cfv 4673   rankcrnk 7403
This theorem is referenced by:  rankxplim3  7519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-reg 7274  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-r1 7404  df-rank 7405
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