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Theorem rankxplim 7803
Description: The rank of a cross product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 7806 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
rankxplim.1  |-  A  e. 
_V
rankxplim.2  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
rankxplim  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )

Proof of Theorem rankxplim
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwuni 4395 . . . . . . . . . 10  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P U.
<. x ,  y >.
2 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
42, 3uniop 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  U. <. x ,  y >.  =  {
x ,  y }
54pweqi 3803 . . . . . . . . . 10  |-  ~P U. <. x ,  y >.  =  ~P { x ,  y }
61, 5sseqtri 3380 . . . . . . . . 9  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P { x ,  y }
7 pwuni 4395 . . . . . . . . . . 11  |-  { x ,  y }  C_  ~P U. { x ,  y }
82, 3unipr 4029 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. {
x ,  y }  =  ( x  u.  y )
98pweqi 3803 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P U. { x ,  y }  =  ~P (
x  u.  y )
107, 9sseqtri 3380 . . . . . . . . . 10  |-  { x ,  y }  C_  ~P ( x  u.  y
)
11 sspwb 4413 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x ,  y } 
C_  ~P ( x  u.  y )  <->  ~P { x ,  y }  C_  ~P ~P ( x  u.  y ) )
1210, 11mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ~P {
x ,  y } 
C_  ~P ~P ( x  u.  y )
136, 12sstri 3357 . . . . . . . 8  |-  <. x ,  y >.  C_  ~P ~P ( x  u.  y
)
142, 3unex 4707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
1514pwex 4382 . . . . . . . . . 10  |-  ~P (
x  u.  y )  e.  _V
1615pwex 4382 . . . . . . . . 9  |-  ~P ~P ( x  u.  y
)  e.  _V
1716rankss 7775 . . . . . . . 8  |-  ( <.
x ,  y >.  C_ 
~P ~P ( x  u.  y )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) ) )
1813, 17ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )
19 rankxplim.1 . . . . . . . . . . 11  |-  A  e. 
_V
2019rankel 7765 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  ( rank `  x )  e.  ( rank `  A
) )
21 rankxplim.2 . . . . . . . . . . 11  |-  B  e. 
_V
2221rankel 7765 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )
232, 3, 19, 21rankelun 7798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( rank `  x
)  e.  ( rank `  A )  /\  ( rank `  y )  e.  ( rank `  B
) )  ->  ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
2420, 22, 23syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
2524adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
26 ranklim 7770 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
27 ranklim 7770 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2826, 27bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( ( rank `  ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
)  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
2928adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( ( rank `  (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) )  <->  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) ) )
3025, 29mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
31 rankon 7721 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  On
32 rankon 7721 . . . . . . . 8  |-  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On
33 ontr2 4628 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  e.  On  /\  ( rank `  ( A  u.  B
) )  e.  On )  ->  ( ( (
rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  /\  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B )
) )  ->  ( rank `  <. x ,  y
>. )  e.  ( rank `  ( A  u.  B ) ) ) )
3431, 32, 33mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ~P ~P ( x  u.  y
) )  /\  ( rank `  ~P ~P (
x  u.  y ) )  e.  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3518, 30, 34sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  -> 
( rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) ) )
3631, 32onsucssi 4821 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  <. x ,  y >. )  e.  (
rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
3735, 36sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
3837ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
39 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( rank `  z
)  =  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
40 suceq 4646 . . . . . . . 8  |-  ( (
rank `  z )  =  ( rank `  <. x ,  y >. )  ->  suc  ( rank `  z
)  =  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. ) )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  suc  ( rank `  z )  =  suc  ( rank `  <. x ,  y >. ) )
4241sseq1d 3375 . . . . . 6  |-  ( z  =  <. x ,  y
>.  ->  ( suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) ) )
4342ralxp 5016 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y
>. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B
) ) )
4419, 21xpex 4990 . . . . . 6  |-  ( A  X.  B )  e. 
_V
4544rankbnd 7794 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  ( A  X.  B ) suc  ( rank `  z )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4643, 45bitr3i 243 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  suc  ( rank `  <. x ,  y >. )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) )  <->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4738, 46sylib 189 . . 3  |-  ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  ->  ( rank `  ( A  X.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4847adantr 452 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  u.  B ) ) )
4919, 21rankxpl 7801 . . 3  |-  ( ( A  X.  B )  =/=  (/)  ->  ( rank `  ( A  u.  B
) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5049adantl 453 . 2  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  u.  B ) )  C_  ( rank `  ( A  X.  B ) ) )
5148, 50eqssd 3365 1  |-  ( ( Lim  ( rank `  ( A  u.  B )
)  /\  ( A  X.  B )  =/=  (/) )  -> 
( rank `  ( A  X.  B ) )  =  ( rank `  ( A  u.  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {cpr 3815   <.cop 3817   U.cuni 4015   Oncon0 4581   Lim wlim 4582   suc csuc 4583    X. cxp 4876   ` cfv 5454   rankcrnk 7689
This theorem is referenced by:  rankxplim3  7805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-reg 7560  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-r1 7690  df-rank 7691
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