Theorem rankxpu 4683

Description: An upper bound on the rank of a cross product.

Hypotheses

Ref	Expression
rankxpl.1	|- A e. V
rankxpl.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
rankxpu	|- (rank` (A X. B)) (_ suc suc (rank` (A u. B))

Proof of Theorem rankxpu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 3247	. . 3 |- (A X. B) (_ P~P~(A u. B)
2		rankxpl.1	. . . . . . 7 |- A e. V
3		rankxpl.2	. . . . . . 7 |- B e. V
4	2, 3	unex 2863	. . . . . 6 |- (A u. B) e. V
5	4	pwex 2735	. . . . 5 |- P~(A u. B) e. V
6	5	pwex 2735	. . . 4 |- P~P~(A u. B) e. V
7	6	rankss 4660	. . 3 |- ((A X. B) (_ P~P~(A u. B) -> (rank` (A X. B)) (_ (rank` P~P~(A u. B)))
8	1, 7	ax-mp 7	. 2 |- (rank` (A X. B)) (_ (rank` P~P~(A u. B))
9	5	rankpw 4656	. . 3 |- (rank` P~P~(A u. B)) = suc (rank` P~(A u. B))
10	4	rankpw 4656	. . . 4 |- (rank` P~(A u. B)) = suc (rank` (A u. B))
11		suceq 3024	. . . 4 |- ((rank` P~(A u. B)) = suc (rank` (A u. B)) -> suc (rank` P~(A u. B)) = suc suc (rank` (A u. B)))
12	10, 11	ax-mp 7	. . 3 |- suc (rank` P~(A u. B)) = suc suc (rank` (A u. B))
13	9, 12	eqtr 1487	. 2 |- (rank` P~P~(A u. B)) = suc suc (rank` (A u. B))
14	8, 13	sseqtr 2083	1 |- (rank` (A X. B)) (_ suc suc (rank` (A u. B))

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   u. cun 2035   (_ wss 2037  P~cpw 2391  suc csuc 2940   X. cxp 3158  ` cfv 3172  rankcrnk 4614

This theorem is referenced by:  rankxplim3 4686

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-r1 4615  df-rank 4616

Copyright terms: Public domain