Theorem rdg0 4242

Description: The initial value of the recursive definition generator.

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	|- (rec(F, A)` (/)) = A

Proof of Theorem rdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglem2 4239	. 2 |- {<.w, z>. | ((w = (/) /\ z = A) \/ (-. (w = (/) \/ Lim dom w) /\ z = (F` (w` U.dom w))) \/ (Lim dom w /\ z = U.ran w))} = {<.g, z>. | ((g = (/) /\ z = A) \/ (-. (g = (/) \/ Lim dom g) /\ z = (F` (g` U.dom g))) \/ (Lim dom g /\ z = U.ran g))}
2		rdgfnon 4240	. 2 |- rec(F, A) Fn On
3		rdgval 4241	. 2 |- (g e. On -> (rec(F, A)` g) = ({<.w, z>. | ((w = (/) /\ z = A) \/ (-. (w = (/) \/ Lim dom w) /\ z = (F` (w` U.dom w))) \/ (Lim dom w /\ z = U.ran w))}` (rec(F, A) |` g)))
4		rdg.1	. 2 |- A e. V
5	1, 2, 3, 4	tz7.44-1 4229	1 |- (rec(F, A)` (/)) = A

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 220   /\ wa 221   \/ w3o 780   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  (/)c0 2332  U.cuni 2569  {copab 2740  Lim wlim 2976  dom cdm 3251  ran crn 3252  ` cfv 3263  reccrdg 4232

This theorem is referenced by:  rdg0g 4245  abianfplem 4262  om0 4292  oe0 4297  oev2 4298  r10 4797  aleph0 5013  neibastop2lem1 11580  neibastop2lem4 11583

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-rdg 4233

Copyright terms: Public domain