Theorem rdg0 3932

Description: The initial value of the recursive definition generator.

Hypothesis

Ref	Expression
rdg.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
rdg0	|- (rec(F, A)` (/)) = A

Proof of Theorem rdg0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdglem2 3929	. 2 |- {<.w, z>. | ((w = (/) /\ z = A) \/ (-. (w = (/) \/ Lim dom w) /\ z = (F` (w` U.dom w))) \/ (Lim dom w /\ z = U.ran w))} = {<.g, z>. | ((g = (/) /\ z = A) \/ (-. (g = (/) \/ Lim dom g) /\ z = (F` (g` U.dom g))) \/ (Lim dom g /\ z = U.ran g))}
2		rdgfnon 3930	. 2 |- rec(F, A) Fn On
3		rdgval 3931	. 2 |- (g e. On -> (rec(F, A)` g) = ({<.w, z>. | ((w = (/) /\ z = A) \/ (-. (w = (/) \/ Lim dom w) /\ z = (F` (w` U.dom w))) \/ (Lim dom w /\ z = U.ran w))}` (rec(F, A) |` g)))
4		rdg.1	. 2 |- A e. V
5	1, 2, 3, 4	tz7.44-1 3919	1 |- (rec(F, A)` (/)) = A

Syntax hints:  -. wn 2   \/ wo 222   /\ wa 223   \/ w3o 773   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  (/)c0 2276  U.cuni 2498  {copab 2661  Lim wlim 2944  dom cdm 3165  ran crn 3166  ` cfv 3177  reccrdg 3922

This theorem is referenced by:  rdg0t 3935  abianfplem 3952  om0 4146  oe0 4151  oev2 4152  r10 4631  aleph0 4843

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain