MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rdgsucg Unicode version

Theorem rdgsucg 6390
Description: The value of the recursive definition generator at a successor. (Contributed by NM, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
rdgsucg  |-  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )

Proof of Theorem rdgsucg
StepHypRef Expression
1 rdgdmlim 6384 . . 3  |-  Lim  dom  rec ( F ,  A
)
2 limsuc 4598 . . 3  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  <->  suc 
B  e.  dom  rec ( F ,  A ) ) )
31, 2ax-mp 10 . 2  |-  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  <->  suc 
B  e.  dom  rec ( F ,  A ) )
4 eqid 2256 . . 3  |-  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `  U. dom  x ) ) ) ) )  =  ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) )
5 rdgvalg 6386 . . 3  |-  ( y  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  y )  =  ( ( x  e.  _V  |->  if ( x  =  (/) ,  A ,  if ( Lim  dom  x ,  U. ran  x ,  ( F `  ( x `
 U. dom  x
) ) ) ) ) `  ( rec ( F ,  A
)  |`  y ) ) )
6 rdgseg 6389 . . 3  |-  ( y  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A )  |`  y )  e.  _V )
7 rdgfun 6383 . . . 4  |-  Fun  rec ( F ,  A )
8 funfn 5208 . . . 4  |-  ( Fun 
rec ( F ,  A )  <->  rec ( F ,  A )  Fn  dom  rec ( F ,  A ) )
97, 8mpbi 201 . . 3  |-  rec ( F ,  A )  Fn  dom  rec ( F ,  A )
10 limord 4409 . . . 4  |-  ( Lim 
dom  rec ( F ,  A )  ->  Ord  dom 
rec ( F ,  A ) )
111, 10ax-mp 10 . . 3  |-  Ord  dom  rec ( F ,  A
)
124, 5, 6, 9, 11tz7.44-2 6374 . 2  |-  ( suc 
B  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
133, 12sylbi 189 1  |-  ( B  e.  dom  rec ( F ,  A )  ->  ( rec ( F ,  A ) `  suc  B )  =  ( F `  ( rec ( F ,  A
) `  B )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621   _Vcvv 2757   (/)c0 3416   ifcif 3525   U.cuni 3787    e. cmpt 4037   Ord word 4349   Lim wlim 4351   suc csuc 4352   dom cdm 4647   ran crn 4648   Fun wfun 4653    Fn wfn 4654   ` cfv 4659   reccrdg 6376
This theorem is referenced by:  rdgsuc  6391  rdgsucmptnf  6396  frsuc  6403  r1sucg  7395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-recs 6342  df-rdg 6377
  Copyright terms: Public domain W3C validator