Theorem rdgsucopab 3937

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function is an ordered pair abstraction).

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucopab.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
rdgsucopab.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
rdgsucopab.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
rdgsucopab.4	|- F = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
rdgsucopab.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucopab	|- ((B e. On /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem rdgsucopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3936	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)))
2		rdgsucopab.4	. . . 4 |- F = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
3	2	fveq1i 3716	. . 3 |- (F` suc B) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1516	. 2 |- (B e. On -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)))
5		fvex 3723	. . 3 |- (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) e. V
6		hbopab1 2808	. . . . . 6 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
7		rdgsucopab.1	. . . . . 6 |- (z e. A -> A.x z e. A)
8	6, 7	hbrdg 3927	. . . . 5 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
9		rdgsucopab.2	. . . . 5 |- (z e. B -> A.x z e. B)
10	8, 9	hbfv 3720	. . . 4 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B))
11		rdgsucopab.3	. . . 4 |- (z e. D -> A.x z e. D)
12	2	fveq1i 3716	. . . . . 6 |- (F` B) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)
13	12	eqeq2i 1482	. . . . 5 |- (x = (F` B) <-> x = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B))
14		rdgsucopab.5	. . . . 5 |- (x = (F` B) -> C = D)
15	13, 14	sylbir 201	. . . 4 |- (x = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) -> C = D)
16	10, 11, 15	fvopabgf 3778	. . 3 |- (((rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) e. V /\ D e. R) -> ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)) = D)
17	5, 16	mpan 694	. 2 |- (D e. R -> ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)) = D)
18	4, 17	sylan9eq 1524	1 |- ((B e. On /\ D e. R) -> (F` suc B) = D)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  {copab 2661  Oncon0 2943  suc csuc 2945  ` cfv 3177  reccrdg 3922

This theorem is referenced by:  abianfplem 3952  r1suc 4632  alephon 4845  alephsuc 4846

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193  df-rdg 3923

Copyright terms: Public domain