Theorem rdgsucopabn 3886

Description: The value of the recursive definition generator at a successor (special case where the characteristic function is an ordered-pair class abstraction and where the mapping class D is a proper class). This is a technical lemma that can be used together with rdgsucopab 3885 to help eliminate redundant sethood antecedents.

Hypotheses

Ref	Expression
rdgsucopab.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
rdgsucopab.2	|- (z e. B -> A.x z e. B)
rdgsucopab.3	|- (z e. D -> A.x z e. D)
rdgsucopab.4	|- F = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
rdgsucopab.5	|- (x = (F` B) -> C = D)

Assertion

Ref	Expression
rdgsucopabn	|- (-. D e. V -> (F` suc B) = (/))

Distinct variable groups:   z,D   y,z,C   z,A   z,B   x,y,z

Proof of Theorem rdgsucopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3884	. . . . 5 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)))
2		rdgsucopab.4	. . . . . 6 |- F = rec({<.x, y>. | y = C}, A)
3	2	fveq1i 3664	. . . . 5 |- (F` suc B) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` suc B)
4	1, 3	syl5eq 1495	. . . 4 |- (B e. On -> (F` suc B) = ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)))
5		hbopab1 2775	. . . . . . 7 |- (z e. {<.x, y>. | y = C} -> A.x z e. {<.x, y>. | y = C})
6		rdgsucopab.1	. . . . . . 7 |- (z e. A -> A.x z e. A)
7	5, 6	hbrdg 3875	. . . . . 6 |- (z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A) -> A.x z e. rec({<.x, y>. | y = C}, A))
8		rdgsucopab.2	. . . . . 6 |- (z e. B -> A.x z e. B)
9	7, 8	hbfv 3668	. . . . 5 |- (z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) -> A.x z e. (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B))
10		rdgsucopab.3	. . . . 5 |- (z e. D -> A.x z e. D)
11	2	fveq1i 3664	. . . . . . 7 |- (F` B) = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)
12	11	eqeq2i 1461	. . . . . 6 |- (x = (F` B) <-> x = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B))
13		rdgsucopab.5	. . . . . 6 |- (x = (F` B) -> C = D)
14	12, 13	sylbir 201	. . . . 5 |- (x = (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B) -> C = D)
15	9, 10, 14	fvopabnf 3727	. . . 4 |- (-. D e. V -> ({<.x, y>. | y = C}` (rec({<.x, y>. | y = C}, A)` B)) = (/))
16	4, 15	sylan9eq 1503	. . 3 |- ((B e. On /\ -. D e. V) -> (F` suc B) = (/))
17	16	ex 373	. 2 |- (B e. On -> (-. D e. V -> (F` suc B) = (/)))
18		sucelon 3031	. . . . . 6 |- (B e. On <-> suc B e. On)
19	2	dmeqi 3269	. . . . . . . 8 |- dom F = dom rec({<.x, y>. | y = C}, A)
20		rdgfnon 3878	. . . . . . . . 9 |- rec({<.x, y>. | y = C}, A) Fn On
21		fndm 3527	. . . . . . . . 9 |- (rec({<.x, y>. | y = C}, A) Fn On -> dom rec({<.x, y>. | y = C}, A) = On)
22	20, 21	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom rec({<.x, y>. | y = C}, A) = On
23	19, 22	eqtr 1471	. . . . . . 7 |- dom F = On
24	23	eleq2i 1514	. . . . . 6 |- (suc B e. dom F <-> suc B e. On)
25	18, 24	bitr4 176	. . . . 5 |- (B e. On <-> suc B e. dom F)
26	25	negbii 187	. . . 4 |- (-. B e. On <-> -. suc B e. dom F)
27		ndmfv 3684	. . . 4 |- (-. suc B e. dom F -> (F` suc B) = (/))
28	26, 27	sylbi 199	. . 3 |- (-. B e. On -> (F` suc B) = (/))
29	28	a1d 12	. 2 |- (-. B e. On -> (-. D e. V -> (F` suc B) = (/)))
30	17, 29	pm2.61i 126	1 |- (-. D e. V -> (F` suc B) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3  A.wal 950   = wceq 1099   e. wcel 1105  Vcvv 1786  (/)c0 2251  {copab 2634  Oncon0 2911  suc csuc 2913  dom cdm 3133   Fn wfn 3140  ` cfv 3145  reccrdg 3870

This theorem is referenced by:  alephon 4788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-ral 1625  df-rex 1626  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-fv 3161  df-rdg 3871

Copyright terms: Public domain