Theorem readdcl 5306

Description: Closure law for addition of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
axri.1	|- A e. RR
axri.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
readdcl	|- (A + B) e. RR

Proof of Theorem readdcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axri.1	. 2 |- A e. RR
2		axri.2	. 2 |- B e. RR
3		axaddrcl 5244	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A + B) e. RR)
4	1, 2, 3	mp2an 695	1 |- (A + B) e. RR

Syntax hints:   e. wcel 955  (class class class)co 3948  RRcr 5205   + caddc 5209

This theorem is referenced by:  ltadd2 5564  leadd1 5566  ltsubadd 5568  lesubadd 5569  lt2add 5570  le2add 5571  addgt0 5572  addge0 5573  add20 5576  ltneg 5577  eqneg 5760  halfpos 5852  ledivp1 5854  ltdivp1 5855  posex 5856  nnaddm1clt 5905  2re 5926  3re 5928  4re 5929  5re 5930  6re 5931  7re 5932  8re 5933  9re 5934  10re 5935  nn0ltp1let 6074  nneo 6144  icoshftf1oi 6342  sumsqne0 6565  discrlem1 6586  discrlem3 6588  nnesq 6592  nn0opthlem2 6595  nn0opth 6596  sqrlem1 6603  sqrlem2 6604  sqrlem3 6605  sqrlem6 6608  sqrlem8 6610  sqrlem9 6611  sqrlem10 6612  sqrlem11 6613  sqrlem16 6618  sqrlem17 6619  sqrlem19 6621  sqrlem20 6622  sqrlem21 6623  sqrlem22 6624  crulem 6666  readd 6719  imadd 6720  remul 6721  immul 6722  abs00 6777  abstri 6829  abs3lem 6838  seq1bnd 6847  bcpasc 6907  cvgcmp2lem 7116  expcnvlem1 7162  expcnvlem2 7163  erelem7 7267  efaddlem7 7286  efaddlem8 7287  efaddlem10 7289  efaddlem12 7291  efaddlem13 7292  efaddlem15 7294  eirrlem1 7330  eirrlem3 7332  efgt1 7344  efcnlem1 7359  reeff1olem1 7364  reeff1olem1OLD 7366  ruclem1 7453  ruclem2 7454  ruclem3 7455  ruclem13 7465  ruclem26 7478  minveclem25 8500  minveclem36 8511  minveclem38 8513  cosh111lem1 8629  effoi 8666  effoiOLD 8667  norm-ii 8925  norm3lem 8937  normpar2 8944  projlem1 9102  projlem2 9103  projlem3 9104  projlem4 9105  projlem5 9106  projlem6 9107  projlem15 9116  projlem28 9129  nmoptri 9941  bdophs 9943  unierr 9950  stadd 10083  stadd3 10085

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-plus 5217

Copyright terms: Public domain