Theorem recant 6842

Description: Cancellation law involving the real part of a complex number.

Assertion

Ref	Expression
recant	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> A = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem recant

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replimtOLD 6693	. . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + ((Im` A) x. i)))
2		mulid2t 5389	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
3	2	eqcomd 1472	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> A = (1 x. A))
4	3	fveq2d 3713	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` A) = (Re` (1 x. A)))
5		imret 6710	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) = (Re` (-ui x. A)))
6	5	opreq1d 3960	. . . . . 6 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. i) = ((Re` (-ui x. A)) x. i))
7	4, 6	opreq12d 3963	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((Re` A) + ((Im` A) x. i)) = ((Re` (1 x. A)) + ((Re` (-ui x. A)) x. i)))
8	1, 7	eqtrd 1499	. . . 4 |- (A e. CC -> A = ((Re` (1 x. A)) + ((Re` (-ui x. A)) x. i)))
9		replimtOLD 6693	. . . . 5 |- (B e. CC -> B = ((Re` B) + ((Im` B) x. i)))
10		mulid2t 5389	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (1 x. B) = B)
11	10	eqcomd 1472	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> B = (1 x. B))
12	11	fveq2d 3713	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (Re` B) = (Re` (1 x. B)))
13		imret 6710	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> (Im` B) = (Re` (-ui x. B)))
14	13	opreq1d 3960	. . . . . 6 |- (B e. CC -> ((Im` B) x. i) = ((Re` (-ui x. B)) x. i))
15	12, 14	opreq12d 3963	. . . . 5 |- (B e. CC -> ((Re` B) + ((Im` B) x. i)) = ((Re` (1 x. B)) + ((Re` (-ui x. B)) x. i)))
16	9, 15	eqtrd 1499	. . . 4 |- (B e. CC -> B = ((Re` (1 x. B)) + ((Re` (-ui x. B)) x. i)))
17	8, 16	eqeqan12d 1482	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A = B <-> ((Re` (1 x. A)) + ((Re` (-ui x. A)) x. i)) = ((Re` (1 x. B)) + ((Re` (-ui x. B)) x. i))))
18		ax1cn 5241	. . . . 5 |- 1 e. CC
19		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- (x = 1 -> (x x. A) = (1 x. A))
20	19	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (Re` (x x. A)) = (Re` (1 x. A)))
21		opreq1 3953	. . . . . . . 8 |- (x = 1 -> (x x. B) = (1 x. B))
22	21	fveq2d 3713	. . . . . . 7 |- (x = 1 -> (Re` (x x. B)) = (Re` (1 x. B)))
23	20, 22	eqeq12d 1481	. . . . . 6 |- (x = 1 -> ((Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> (Re` (1 x. A)) = (Re` (1 x. B))))
24	23	rcla4v 1864	. . . . 5 |- (1 e. CC -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (1 x. A)) = (Re` (1 x. B))))
25	18, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (1 x. A)) = (Re` (1 x. B)))
26		axicn 5242	. . . . . . 7 |- i e. CC
27	26	negcl 5341	. . . . . 6 |- -ui e. CC
28		opreq1 3953	. . . . . . . . 9 |- (x = -ui -> (x x. A) = (-ui x. A))
29	28	fveq2d 3713	. . . . . . . 8 |- (x = -ui -> (Re` (x x. A)) = (Re` (-ui x. A)))
30		opreq1 3953	. . . . . . . . 9 |- (x = -ui -> (x x. B) = (-ui x. B))
31	30	fveq2d 3713	. . . . . . . 8 |- (x = -ui -> (Re` (x x. B)) = (Re` (-ui x. B)))
32	29, 31	eqeq12d 1481	. . . . . . 7 |- (x = -ui -> ((Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> (Re` (-ui x. A)) = (Re` (-ui x. B))))
33	32	rcla4v 1864	. . . . . 6 |- (-ui e. CC -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (-ui x. A)) = (Re` (-ui x. B))))
34	27, 33	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> (Re` (-ui x. A)) = (Re` (-ui x. B)))
35	34	opreq1d 3960	. . . 4 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> ((Re` (-ui x. A)) x. i) = ((Re` (-ui x. B)) x. i))
36	25, 35	opreq12d 3963	. . 3 |- (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> ((Re` (1 x. A)) + ((Re` (-ui x. A)) x. i)) = ((Re` (1 x. B)) + ((Re` (-ui x. B)) x. i)))
37	17, 36	syl5bir 210	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) -> A = B))
38		opreq2 3954	. . . . 5 |- (A = B -> (x x. A) = (x x. B))
39	38	fveq2d 3713	. . . 4 |- (A = B -> (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)))
40	39	a1d 12	. . 3 |- (A = B -> (x e. CC -> (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B))))
41	40	r19.21aiv 1705	. 2 |- (A = B -> A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)))
42	37, 41	impbid1 515	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A.x e. CC (Re` (x x. A)) = (Re` (x x. B)) <-> A = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211  -ucneg 5265  Recre 6678  Imcim 6679

This theorem is referenced by:  lnopunilem2 9851

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683

Copyright terms: Public domain