Theorem recclpq 5084

Description: Closure law for positive fraction reciprocal.

Assertion

Ref	Expression
recclpq	|- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)

Proof of Theorem recclpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recidpq 5083	. . 3 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) = 1Q)
2		1q 5069	. . 3 |- 1Q e. Q.
3	1, 2	syl6eqel 1559	. 2 |- (A e. Q. -> (A .Q (*Q` A)) e. Q.)
4		fvex 3738	. . . 4 |- (*Q` A) e. V
5		dmmulpq 5073	. . . 4 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
6		0npq 5062	. . . 4 |- -. (/) e. Q.
7	4, 5, 6	ndmoprrcl 4052	. . 3 |- ((A .Q (*Q` A)) e. Q. -> (A e. Q. /\ (*Q` A) e. Q.))
8	7	pm3.27d 325	. 2 |- ((A .Q (*Q` A)) e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)
9	3, 8	syl 10	1 |- (A e. Q. -> (*Q` A) e. Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 960  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  Q.cnq 4991  1Qc1q 4992   .Q cmq 4994  *Qcrq 4995

This theorem is referenced by:  recrecpq 5085  ltrpq 5097  1pr 5129  mulclprlem 5133  prlem936a 5165  reclem1pr 5168  reclem3pr 5170  reclem4pr 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-mq 5052  df-rq 5053  df-1q 5055

Copyright terms: Public domain