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Theorem reccn2 12066
Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2.t  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
reccn2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
Distinct variable groups:    y, z, A   
y, B, z    y, T, z

Proof of Theorem reccn2
StepHypRef Expression
1 reccn2.t . . 3  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )
2 1rp 10355 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
3 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
4 eldifsn 3752 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
53, 4sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
6 absrpcl 11769 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
75, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
8 rpmulcl 10372 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )
97, 8sylancom 650 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  x.  B )  e.  RR+ )
10 ifcl 3604 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
112, 9, 10sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A )  x.  B
) )  e.  RR+ )
127rphalfcld 10399 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  /  2 )  e.  RR+ )
1311, 12rpmulcld 10403 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2370 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
155adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
1615simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  A  e.  CC )
17 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 eldifsn 3752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
1917, 18sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
2019simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  z  e.  CC )
2116, 20mulcld 8852 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  z )  e.  CC )
22 mulne0 9407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )  -> 
( A  x.  z
)  =/=  0 )
2315, 19, 22syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  z )  =/=  0 )
2416, 20, 21, 23divsubdird 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  -  z
)  /  ( A  x.  z ) )  =  ( ( A  /  ( A  x.  z ) )  -  ( z  /  ( A  x.  z )
) ) )
2516mulid1d 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
2625oveq1d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z ) )  =  ( A  / 
( A  x.  z
) ) )
27 ax-1cn 8792 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2827a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  1  e.  CC )
29 divcan5 9459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z )
)  =  ( 1  /  z ) )
3028, 19, 15, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  / 
z ) )
3126, 30eqtr3d 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  /  z
) )
3220mulid1d 8849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  x.  1 )  =  z )
3320, 16mulcomd 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  x.  A )  =  ( A  x.  z ) )
3432, 33oveq12d 5839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( z  x.  1 )  /  ( z  x.  A ) )  =  ( z  / 
( A  x.  z
) ) )
35 divcan5 9459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )  -> 
( ( z  x.  1 )  /  (
z  x.  A ) )  =  ( 1  /  A ) )
3628, 15, 19, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( z  x.  1 )  /  ( z  x.  A ) )  =  ( 1  /  A ) )
3734, 36eqtr3d 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  /  A ) )
3831, 37oveq12d 5839 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  /  ( A  x.  z )
)  -  ( z  /  ( A  x.  z ) ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
3924, 38eqtrd 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  -  z
)  /  ( A  x.  z ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
4039fveq2d 5491 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( A  -  z )  / 
( A  x.  z
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) ) )
4116, 20subcld 9154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  -  z )  e.  CC )
4241, 21, 23absdivd 11933 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( A  -  z )  / 
( A  x.  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) ) )
4340, 42eqtr3d 2320 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) ) )
4416, 20abssubd 11931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  =  ( abs `  (
z  -  A ) ) )
4520, 16subcld 9154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  -  A )  e.  CC )
4645abscld 11914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  e.  RR )
4744, 46eqeltrd 2360 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  e.  RR )
4814adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  e.  RR+ )
4948rpred 10387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  e.  RR )
5021abscld 11914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  e.  RR )
51 rpre 10357 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
5251ad2antlr 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  B  e.  RR )
5350, 52remulcld 8860 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  e.  RR )
54 simprr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
T )
5544, 54eqbrtrd 4046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
T )
569adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )
5756rpred 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )
5812adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  RR )
6057, 59remulcld 8860 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  e.  RR )
61 1re 8834 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
62 min2 10514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) )
6361, 57, 62sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) )
6411adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
6564rpred 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR )
6665, 57, 58lemul1d 10426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B )  <->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
6763, 66mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) )
681, 67syl5eqbr 4059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B
)  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
6920abscld 11914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
7016abscld 11914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
7170recnd 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
72712halvesd 9954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) )  =  ( abs `  A ) )
7370, 69resubcld 9208 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
7416, 20abs2difd 11935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  z )
) )
75 min1 10513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
7661, 57, 75sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
7761a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  1  e.  RR )
7865, 77, 58lemul1d 10426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1  <->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
7976, 78mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) )
801, 79syl5eqbr 4059 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( 1  x.  (
( abs `  A
)  /  2 ) ) )
8159recnd 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  CC )
8281mulid2d 8850 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
1  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  A )  /  2
) )
8380, 82breqtrd 4050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8447, 49, 59, 55, 83ltletrd 8973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8573, 47, 59, 74, 84lelttrd 8971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8670, 69, 59ltsubadd2d 9367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 )  <-> 
( abs `  A
)  <  ( ( abs `  z )  +  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
8785, 86mpbid 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  < 
( ( abs `  z
)  +  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
8872, 87eqbrtrd 4046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( abs `  z
)  +  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
8959, 69, 59ltadd1d 9362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  <  ( abs `  z
)  <->  ( ( ( abs `  A )  /  2 )  +  ( ( abs `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( abs `  z )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) ) ) )
9088, 89mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  <  ( abs `  z
) )
9159, 69, 56, 90ltmul2dd 10439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9216, 20absmuld 11932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  z ) ) )
9392oveq1d 5836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  z
) )  x.  B
) )
9469recnd 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
9552recnd 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  B  e.  CC )
9671, 94, 95mul32d 9019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  z ) )  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9793, 96eqtrd 2318 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9891, 97breqtrrd 4052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
9949, 60, 53, 68, 98lelttrd 8971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <  ( ( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
10047, 49, 53, 55, 99lttrd 8974 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
( ( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
10121, 23absrpcld 11926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  e.  RR+ )
10247, 52, 101ltdivmuld 10434 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) )  < 
B  <->  ( abs `  ( A  -  z )
)  <  ( ( abs `  ( A  x.  z ) )  x.  B ) ) )
103100, 102mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) )  < 
B )
10443, 103eqbrtrd 4046 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )  < 
B )
105104expr 600 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
106105ralrimiva 2629 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
107 breq2 4030 . . . . 5  |-  ( y  =  T  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )
108107imbi1d 310 . . . 4  |-  ( y  =  T  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) ) )
109108ralbidv 2566 . . 3  |-  ( y  =  T  ->  ( A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B )  <->  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) ) )
110109rspcev 2887 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
11114, 106, 110syl2anc 644 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   A.wral 2546   E.wrex 2547    \ cdif 3152   ifcif 3568   {csn 3643   class class class wbr 4026   ` cfv 5223  (class class class)co 5821   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734   1c1 8735    + caddc 8737    x. cmul 8739    < clt 8864    <_ cle 8865    - cmin 9034    / cdiv 9420   2c2 9792   RR+crp 10351   abscabs 11715
This theorem is referenced by:  rlimdiv  12115  divcn  18368  climrec  27130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-iun 3910  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-er 6657  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-sup 7191  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-n0 9963  df-z 10022  df-uz 10228  df-rp 10352  df-seq 11043  df-exp 11101  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717
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