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Theorem reccn2 12086
Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2.t  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
reccn2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, T, z

Proof of Theorem reccn2
StepHypRef Expression
1 reccn2.t . . 3  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )
2 1rp 10374 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
3 simpl 443 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
4 eldifsn 3762 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
53, 4sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
6 absrpcl 11789 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
75, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
8 rpmulcl 10391 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )
97, 8sylancom 648 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  x.  B )  e.  RR+ )
10 ifcl 3614 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
112, 9, 10sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A )  x.  B
) )  e.  RR+ )
127rphalfcld 10418 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  /  2 )  e.  RR+ )
1311, 12rpmulcld 10422 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2380 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
155adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
1615simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  A  e.  CC )
17 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
1917, 18sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
2019simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  z  e.  CC )
2116, 20mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  z )  e.  CC )
22 mulne0 9426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )  -> 
( A  x.  z
)  =/=  0 )
2315, 19, 22syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  z )  =/=  0 )
2416, 20, 21, 23divsubdird 9591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  -  z
)  /  ( A  x.  z ) )  =  ( ( A  /  ( A  x.  z ) )  -  ( z  /  ( A  x.  z )
) ) )
2516mulid1d 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
2625oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z ) )  =  ( A  / 
( A  x.  z
) ) )
27 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2827a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  1  e.  CC )
29 divcan5 9478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z )
)  =  ( 1  /  z ) )
3028, 19, 15, 29syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  / 
z ) )
3126, 30eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  /  z
) )
3220mulid1d 8868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  x.  1 )  =  z )
3320, 16mulcomd 8872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  x.  A )  =  ( A  x.  z ) )
3432, 33oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( z  x.  1 )  /  ( z  x.  A ) )  =  ( z  / 
( A  x.  z
) ) )
35 divcan5 9478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )  -> 
( ( z  x.  1 )  /  (
z  x.  A ) )  =  ( 1  /  A ) )
3628, 15, 19, 35syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( z  x.  1 )  /  ( z  x.  A ) )  =  ( 1  /  A ) )
3734, 36eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  /  A ) )
3831, 37oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  /  ( A  x.  z )
)  -  ( z  /  ( A  x.  z ) ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
3924, 38eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  -  z
)  /  ( A  x.  z ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
4039fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( A  -  z )  / 
( A  x.  z
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) ) )
4116, 20subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  -  z )  e.  CC )
4241, 21, 23absdivd 11953 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( A  -  z )  / 
( A  x.  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) ) )
4340, 42eqtr3d 2330 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) ) )
4416, 20abssubd 11951 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  =  ( abs `  (
z  -  A ) ) )
4520, 16subcld 9173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  -  A )  e.  CC )
4645abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  e.  RR )
4744, 46eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  e.  RR )
4814adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  e.  RR+ )
4948rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  e.  RR )
5021abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  e.  RR )
51 rpre 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
5251ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  B  e.  RR )
5350, 52remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  e.  RR )
54 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
T )
5544, 54eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
T )
569adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )
5756rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )
5812adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  RR )
6057, 59remulcld 8879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  e.  RR )
61 1re 8853 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
62 min2 10534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) )
6361, 57, 62sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) )
6411adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
6564rpred 10406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR )
6665, 57, 58lemul1d 10445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B )  <->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
6763, 66mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) )
681, 67syl5eqbr 4072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B
)  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
6920abscld 11934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
7016abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
7170recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
72712halvesd 9973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) )  =  ( abs `  A ) )
7370, 69resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
7416, 20abs2difd 11955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  z )
) )
75 min1 10533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
7661, 57, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
7761a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  1  e.  RR )
7865, 77, 58lemul1d 10445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1  <->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
7976, 78mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) )
801, 79syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( 1  x.  (
( abs `  A
)  /  2 ) ) )
8159recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  CC )
8281mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
1  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  A )  /  2
) )
8380, 82breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8447, 49, 59, 55, 83ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8573, 47, 59, 74, 84lelttrd 8990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8670, 69, 59ltsubadd2d 9386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 )  <-> 
( abs `  A
)  <  ( ( abs `  z )  +  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
8785, 86mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  < 
( ( abs `  z
)  +  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
8872, 87eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( abs `  z
)  +  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
8959, 69, 59ltadd1d 9381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  <  ( abs `  z
)  <->  ( ( ( abs `  A )  /  2 )  +  ( ( abs `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( abs `  z )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) ) ) )
9088, 89mpbird 223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  <  ( abs `  z
) )
9159, 69, 56, 90ltmul2dd 10458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9216, 20absmuld 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  z ) ) )
9392oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  z
) )  x.  B
) )
9469recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
9552recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  B  e.  CC )
9671, 94, 95mul32d 9038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  z ) )  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9793, 96eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9891, 97breqtrrd 4065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
9949, 60, 53, 68, 98lelttrd 8990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <  ( ( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
10047, 49, 53, 55, 99lttrd 8993 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
( ( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
10121, 23absrpcld 11946 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  e.  RR+ )
10247, 52, 101ltdivmuld 10453 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) )  < 
B  <->  ( abs `  ( A  -  z )
)  <  ( ( abs `  ( A  x.  z ) )  x.  B ) ) )
103100, 102mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) )  < 
B )
10443, 103eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )  < 
B )
105104expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
106105ralrimiva 2639 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
107 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( y  =  T  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )
108107imbi1d 308 . . . 4  |-  ( y  =  T  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) ) )
109108ralbidv 2576 . . 3  |-  ( y  =  T  ->  ( A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B )  <->  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) ) )
110109rspcev 2897 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
11114, 106, 110syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    \ cdif 3162   ifcif 3578   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  rlimdiv  12135  divcn  18388  climrec  27832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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