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Theorem reccn2 12317
Description: The reciprocal function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
reccn2.t  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )
Assertion
Ref Expression
reccn2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    y, B, z    y, T, z

Proof of Theorem reccn2
StepHypRef Expression
1 reccn2.t . . 3  |-  T  =  ( if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B
) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )
2 1rp 10548 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
3 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
4 eldifsn 3870 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
53, 4sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
6 absrpcl 12020 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  RR+ )
75, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( abs `  A )  e.  RR+ )
8 rpmulcl 10565 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )
97, 8sylancom 649 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  x.  B )  e.  RR+ )
10 ifcl 3718 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
112, 9, 10sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A )  x.  B
) )  e.  RR+ )
127rphalfcld 10592 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  /  2 )  e.  RR+ )
1311, 12rpmulcld 10596 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  e.  RR+ )
141, 13syl5eqel 2471 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  T  e.  RR+ )
155adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )
1615simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  A  e.  CC )
17 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
18 eldifsn 3870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
1917, 18sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )
2019simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  z  e.  CC )
2116, 20mulcld 9041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  z )  e.  CC )
22 mulne0 9596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )  -> 
( A  x.  z
)  =/=  0 )
2315, 19, 22syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  z )  =/=  0 )
2416, 20, 21, 23divsubdird 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  -  z
)  /  ( A  x.  z ) )  =  ( ( A  /  ( A  x.  z ) )  -  ( z  /  ( A  x.  z )
) ) )
2516mulid1d 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
2625oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z ) )  =  ( A  / 
( A  x.  z
) ) )
27 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  1  e.  CC )
29 divcan5 9648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 )  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z )
)  =  ( 1  /  z ) )
3028, 19, 15, 29syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  x.  1 )  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  / 
z ) )
3126, 30eqtr3d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  /  z
) )
3220mulid1d 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  x.  1 )  =  z )
3320, 16mulcomd 9042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  x.  A )  =  ( A  x.  z ) )
3432, 33oveq12d 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( z  x.  1 )  /  ( z  x.  A ) )  =  ( z  / 
( A  x.  z
) ) )
35 divcan5 9648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( z  e.  CC  /\  z  =/=  0 ) )  -> 
( ( z  x.  1 )  /  (
z  x.  A ) )  =  ( 1  /  A ) )
3628, 15, 19, 35syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( z  x.  1 )  /  ( z  x.  A ) )  =  ( 1  /  A ) )
3734, 36eqtr3d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  /  ( A  x.  z ) )  =  ( 1  /  A ) )
3831, 37oveq12d 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  /  ( A  x.  z )
)  -  ( z  /  ( A  x.  z ) ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
3924, 38eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( A  -  z
)  /  ( A  x.  z ) )  =  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )
4039fveq2d 5672 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( A  -  z )  / 
( A  x.  z
) ) )  =  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) ) )
4116, 20subcld 9343 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( A  -  z )  e.  CC )
4241, 21, 23absdivd 12184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( A  -  z )  / 
( A  x.  z
) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) ) )
4340, 42eqtr3d 2421 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )  =  ( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) ) )
4416, 20abssubd 12182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  =  ( abs `  (
z  -  A ) ) )
4520, 16subcld 9343 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
z  -  A )  e.  CC )
4645abscld 12165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  e.  RR )
4744, 46eqeltrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  e.  RR )
4814adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  e.  RR+ )
4948rpred 10580 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  e.  RR )
5021abscld 12165 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  e.  RR )
51 rpre 10550 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
5251ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  B  e.  RR )
5350, 52remulcld 9049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  e.  RR )
54 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( z  -  A ) )  < 
T )
5544, 54eqbrtrd 4173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
T )
569adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR+ )
5756rpred 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )
5812adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  RR+ )
5958rpred 10580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  RR )
6057, 59remulcld 9049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  e.  RR )
61 1re 9023 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
62 min2 10709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) )
6361, 57, 62sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B ) )
6411adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR+ )
6564rpred 10580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  e.  RR )
6665, 57, 58lemul1d 10619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  ( ( abs `  A )  x.  B )  <->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
6763, 66mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) )
681, 67syl5eqbr 4186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( ( ( abs `  A )  x.  B
)  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
6920abscld 12165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
7016abscld 12165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
7170recnd 9047 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
72712halvesd 10145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) )  =  ( abs `  A ) )
7370, 69resubcld 9397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  e.  RR )
7416, 20abs2difd 12186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  <_ 
( abs `  ( A  -  z )
) )
75 min1 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( abs `  A
)  x.  B )  e.  RR )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
7661, 57, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1 )
7761a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  1  e.  RR )
7865, 77, 58lemul1d 10619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  <_  1  <->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
7976, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( if ( 1  <_  (
( abs `  A
)  x.  B ) ,  1 ,  ( ( abs `  A
)  x.  B ) )  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) )
801, 79syl5eqbr 4186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( 1  x.  (
( abs `  A
)  /  2 ) ) )
8159recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  e.  CC )
8281mulid2d 9039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
1  x.  ( ( abs `  A )  /  2 ) )  =  ( ( abs `  A )  /  2
) )
8380, 82breqtrd 4177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <_  ( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8447, 49, 59, 55, 83ltletrd 9162 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8573, 47, 59, 74, 84lelttrd 9160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 ) )
8670, 69, 59ltsubadd2d 9556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  -  ( abs `  z ) )  < 
( ( abs `  A
)  /  2 )  <-> 
( abs `  A
)  <  ( ( abs `  z )  +  ( ( abs `  A
)  /  2 ) ) ) )
8785, 86mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  A )  < 
( ( abs `  z
)  +  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
8872, 87eqbrtrd 4173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( abs `  z
)  +  ( ( abs `  A )  /  2 ) ) )
8959, 69, 59ltadd1d 9551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  /  2 )  <  ( abs `  z
)  <->  ( ( ( abs `  A )  /  2 )  +  ( ( abs `  A
)  /  2 ) )  <  ( ( abs `  z )  +  ( ( abs `  A )  /  2
) ) ) )
9088, 89mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  A
)  /  2 )  <  ( abs `  z
) )
9159, 69, 56, 90ltmul2dd 10632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9216, 20absmuld 12183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  =  ( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  z ) ) )
9392oveq1d 6035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  ( abs `  z
) )  x.  B
) )
9469recnd 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  z )  e.  CC )
9552recnd 9047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  B  e.  CC )
9671, 94, 95mul32d 9208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  ( abs `  z ) )  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9793, 96eqtrd 2419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B )  =  ( ( ( abs `  A )  x.  B )  x.  ( abs `  z
) ) )
9891, 97breqtrrd 4179 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  A
)  x.  B )  x.  ( ( abs `  A )  /  2
) )  <  (
( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
9949, 60, 53, 68, 98lelttrd 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  T  <  ( ( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
10047, 49, 53, 55, 99lttrd 9163 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  -  z ) )  < 
( ( abs `  ( A  x.  z )
)  x.  B ) )
10121, 23absrpcld 12177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( A  x.  z ) )  e.  RR+ )
10247, 52, 101ltdivmuld 10627 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( ( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) )  < 
B  <->  ( abs `  ( A  -  z )
)  <  ( ( abs `  ( A  x.  z ) )  x.  B ) ) )
103100, 102mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  (
( abs `  ( A  -  z )
)  /  ( abs `  ( A  x.  z
) ) )  < 
B )
10443, 103eqbrtrd 4173 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  (
z  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )  ->  ( abs `  ( ( 1  /  z )  -  ( 1  /  A
) ) )  < 
B )
105104expr 599 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  e.  ( CC  \  {
0 } ) )  ->  ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
106105ralrimiva 2732 . 2  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
107 breq2 4157 . . . . 5  |-  ( y  =  T  ->  (
( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  <->  ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T
) )
108107imbi1d 309 . . . 4  |-  ( y  =  T  ->  (
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B )  <-> 
( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) ) )
109108ralbidv 2669 . . 3  |-  ( y  =  T  ->  ( A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  y  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B )  <->  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  ( z  -  A
) )  <  T  ->  ( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) ) )
110109rspcev 2995 . 2  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  A. z  e.  ( CC  \  { 0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  T  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
11114, 106, 110syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  ( CC 
\  { 0 } )  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  RR+  A. z  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( ( abs `  (
z  -  A ) )  <  y  -> 
( abs `  (
( 1  /  z
)  -  ( 1  /  A ) ) )  <  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    \ cdif 3260   ifcif 3682   {csn 3757   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   2c2 9981   RR+crp 10544   abscabs 11966
This theorem is referenced by:  rlimdiv  12366  divcn  18769  climrec  27397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968
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