Theorem recexpr 5172

Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Assertion

Ref	Expression
recexpr	|- (A e. P. -> E.x(x e. P. /\ (A .P. x) = 1P))

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem recexpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3975	. . . . 5 |- (x = {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)} -> (A .P. x) = (A .P. {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}))
2	1	eqeq1d 1486	. . . 4 |- (x = {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)} -> ((A .P. x) = 1P <-> (A .P. {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}) = 1P))
3	2	cla4egv 1866	. . 3 |- ({z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)} e. P. -> ((A .P. {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}) = 1P -> E.x(A .P. x) = 1P))
4		breq1 2627	. . . . . . 7 |- (z = w -> (z <Q y <-> w <Q y))
5	4	anbi1d 619	. . . . . 6 |- (z = w -> ((z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) <-> (w <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)))
6	5	exbidv 1281	. . . . 5 |- (z = w -> (E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) <-> E.y(w <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)))
7	6	cbvabv 1912	. . . 4 |- {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)} = {w | E.y(w <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}
8	7	reclem2pr 5169	. . 3 |- (A e. P. -> {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)} e. P.)
9	7	reclem4pr 5171	. . 3 |- (A e. P. -> (A .P. {z | E.y(z <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}) = 1P)
10	3, 8, 9	sylc 68	. 2 |- (A e. P. -> E.x(A .P. x) = 1P)
11		1pr 5129	. . . . . . 7 |- 1P e. P.
12		eleq1 1537	. . . . . . 7 |- ((A .P. x) = 1P -> ((A .P. x) e. P. <-> 1P e. P.))
13	11, 12	mpbiri 194	. . . . . 6 |- ((A .P. x) = 1P -> (A .P. x) e. P.)
14		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
15		dmmp 5128	. . . . . . 7 |- dom .P. = (P. X. P.)
16		0npr 5108	. . . . . . 7 |- -. (/) e. P.
17	14, 15, 16	ndmoprrcl 4052	. . . . . 6 |- ((A .P. x) e. P. -> (A e. P. /\ x e. P.))
18	13, 17	syl 10	. . . . 5 |- ((A .P. x) = 1P -> (A e. P. /\ x e. P.))
19	18	pm3.27d 325	. . . 4 |- ((A .P. x) = 1P -> x e. P.)
20	19	ancri 297	. . 3 |- ((A .P. x) = 1P -> (x e. P. /\ (A .P. x) = 1P))
21	20	19.22i 1042	. 2 |- (E.x(A .P. x) = 1P -> E.x(x e. P. /\ (A .P. x) = 1P))
22	10, 21	syl 10	1 |- (A e. P. -> E.x(x e. P. /\ (A .P. x) = 1P))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  *Qcrq 4995   <Q cltq 4996  P.cnp 4997  1Pc1p 4998   .P. cmp 5000

This theorem is referenced by:  recexsrlem 5224

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-mp 5101

Copyright terms: Public domain