MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexpr Unicode version

Theorem recexpr 8912
Description: The reciprocal of a positive real exists. Part of Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexpr  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  P.  ( A  .P.  x )  =  1P )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexpr
Dummy variables  y 
z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4202 . . . . . 6  |-  ( z  =  w  ->  (
z  <Q  y  <->  w  <Q  y ) )
21anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( z  =  w  ->  (
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( w  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) ) )
32exbidv 1636 . . . 4  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  <->  E. y
( w  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
43cbvabv 2549 . . 3  |-  { z  |  E. y ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A ) }  =  { w  |  E. y ( w 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }
54reclem2pr 8909 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  { z  |  E. y ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A ) }  e.  P. )
64reclem4pr 8911 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  { z  |  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) } )  =  1P )
7 oveq2 6075 . . . 4  |-  ( x  =  { z  |  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }  ->  ( A  .P.  x )  =  ( A  .P.  { z  |  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) } ) )
87eqeq1d 2438 . . 3  |-  ( x  =  { z  |  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }  ->  ( ( A  .P.  x
)  =  1P  <->  ( A  .P.  { z  |  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) } )  =  1P ) )
98rspcev 3039 . 2  |-  ( ( { z  |  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) }  e.  P.  /\  ( A  .P.  { z  |  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) } )  =  1P )  ->  E. x  e.  P.  ( A  .P.  x )  =  1P )
105, 6, 9syl2anc 643 1  |-  ( A  e.  P.  ->  E. x  e.  P.  ( A  .P.  x )  =  1P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2416   E.wrex 2693   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   *Qcrq 8716    <Q cltq 8717   P.cnp 8718   1Pc1p 8719    .P. cmp 8721
This theorem is referenced by:  recexsrlem  8962
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-inf2 7580
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-1o 6710  df-oadd 6714  df-omul 6715  df-er 6891  df-ni 8733  df-pli 8734  df-mi 8735  df-lti 8736  df-plpq 8769  df-mpq 8770  df-ltpq 8771  df-enq 8772  df-nq 8773  df-erq 8774  df-plq 8775  df-mq 8776  df-1nq 8777  df-rq 8778  df-ltnq 8779  df-np 8842  df-1p 8843  df-mp 8845
  Copyright terms: Public domain W3C validator