MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recexsr Structured version   Unicode version

Theorem recexsr 8982
Description: The reciprocal of a nonzero signed real exists. Part of Proposition 9-4.3 of [Gleason] p. 126. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
recexsr  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem recexsr
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sqgt0sr 8981 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  0R  <R  ( A  .R  A ) )
2 recexsrlem 8978 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  ( A  .R  A
)  ->  E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  1R )
3 mulclsr 8959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( A  .R  y
)  e.  R. )
4 mulasssr 8965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .R  A )  .R  y )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) )
54eqeq1i 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  A
)  .R  y )  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R )
6 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  ( A  .R  x )  =  ( A  .R  ( A  .R  y ) ) )
76eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( A  .R  y )  ->  (
( A  .R  x
)  =  1R  <->  ( A  .R  ( A  .R  y
) )  =  1R ) )
87rspcev 3052 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( A  .R  ( A  .R  y ) )  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
95, 8sylan2b 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .R  y
)  e.  R.  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
103, 9sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
1110exp31 588 . . . . 5  |-  ( A  e.  R.  ->  (
y  e.  R.  ->  ( ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) ) )
1211rexlimdv 2829 . . . 4  |-  ( A  e.  R.  ->  ( E. y  e.  R.  ( ( A  .R  A )  .R  y
)  =  1R  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
132, 12syl5 30 . . 3  |-  ( A  e.  R.  ->  ( 0R  <R  ( A  .R  A )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x )  =  1R ) )
1413imp 419 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  0R  <R  ( A  .R  A ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
151, 14syldan 457 1  |-  ( ( A  e.  R.  /\  A  =/=  0R )  ->  E. x  e.  R.  ( A  .R  x
)  =  1R )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   class class class wbr 4212  (class class class)co 6081   R.cnr 8742   0Rc0r 8743   1Rc1r 8744    .R cmr 8747    <R cltr 8748
This theorem is referenced by:  axrrecex  9038
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-ni 8749  df-pli 8750  df-mi 8751  df-lti 8752  df-plpq 8785  df-mpq 8786  df-ltpq 8787  df-enq 8788  df-nq 8789  df-erq 8790  df-plq 8791  df-mq 8792  df-1nq 8793  df-rq 8794  df-ltnq 8795  df-np 8858  df-1p 8859  df-plp 8860  df-mp 8861  df-ltp 8862  df-plpr 8932  df-mpr 8933  df-enr 8934  df-nr 8935  df-plr 8936  df-mr 8937  df-ltr 8938  df-0r 8939  df-1r 8940  df-m1r 8941
  Copyright terms: Public domain W3C validator