HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem recextlem2 5656
Description: Lemma for recext 5657.
Assertion
Ref Expression
recextlem2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Proof of Theorem recextlem2
StepHypRef Expression
1 gt0ne0t 5592 . 2 |- ((((A x. A) + (B x. B)) e. RR /\ 0 < ((A x. A) + (B x. B))) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
2 axaddrcl 5244 . . . 4 |- (((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
3 axmulrcl 5246 . . . . 5 |- ((A e. RR /\ A e. RR) -> (A x. A) e. RR)
43anidms 434 . . . 4 |- (A e. RR -> (A x. A) e. RR)
5 axmulrcl 5246 . . . . 5 |- ((B e. RR /\ B e. RR) -> (B x. B) e. RR)
65anidms 434 . . . 4 |- (B e. RR -> (B x. B) e. RR)
72, 4, 6syl2an 454 . . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
873adant3 797 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) e. RR)
9 addgtge0t 5622 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
104, 6anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
1110adantr 389 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
12 msqgt0t 5589 . . . . . . . 8 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))
13 msqge0t 5590 . . . . . . . 8 |- (B e. RR -> 0 <_ (B x. B))
1412, 13anim12i 333 . . . . . . 7 |- (((A e. RR /\ A =/= 0) /\ B e. RR) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
1514an1rs 488 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> (0 < (A x. A) /\ 0 <_ (B x. B)))
169, 11, 15sylanc 471 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ A =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
17 addgegt0t 5621 . . . . . 6 |- ((((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR) /\ (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B))) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
1810adantr 389 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> ((A x. A) e. RR /\ (B x. B) e. RR))
19 msqge0t 5590 . . . . . . . 8 |- (A e. RR -> 0 <_ (A x. A))
20 msqgt0t 5589 . . . . . . . 8 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> 0 < (B x. B))
2119, 20anim12i 333 . . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ (B e. RR /\ B =/= 0)) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2221anassrs 441 . . . . . 6 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> (0 <_ (A x. A) /\ 0 < (B x. B)))
2317, 18, 22sylanc 471 . . . . 5 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ B =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
2416, 23jaodan 426 . . . 4 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A =/= 0 \/ B =/= 0)) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
25 opreq12 3955 . . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (i x. B) = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
26 opreq2 3954 . . . . . . . . 9 |- (B = 0 -> (i x. B) = (i x. 0))
27 axicn 5242 . . . . . . . . . 10 |- i e. CC
2827mul01 5403 . . . . . . . . 9 |- (i x. 0) = 0
2926, 28syl6eq 1515 . . . . . . . 8 |- (B = 0 -> (i x. B) = 0)
3025, 29sylan2 451 . . . . . . 7 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = (0 + 0))
31 0cn 5300 . . . . . . . 8 |- 0 e. CC
3231addid1 5302 . . . . . . 7 |- (0 + 0) = 0
3330, 32syl6eq 1515 . . . . . 6 |- ((A = 0 /\ B = 0) -> (A + (i x. B)) = 0)
3433necon3ai 1598 . . . . 5 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> -. (A = 0 /\ B = 0))
35 neorian 1632 . . . . 5 |- ((A =/= 0 \/ B =/= 0) <-> -. (A = 0 /\ B = 0))
3634, 35sylibr 200 . . . 4 |- ((A + (i x. B)) =/= 0 -> (A =/= 0 \/ B =/= 0))
3724, 36sylan2 451 . . 3 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
38373impa 826 . 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> 0 < ((A x. A) + (B x. B)))
391, 8, 38sylanc 471 1 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ (A + (i x. B)) =/= 0) -> ((A x. A) + (B x. B)) =/= 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211   <_ cle 5267   < clt 5458
This theorem is referenced by:  recext 5657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463
Copyright terms: Public domain