Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recgt0ii Structured version   Unicode version

Theorem recgt0ii 9908
 Description: The reciprocal of a positive number is positive. Exercise 4 of [Apostol] p. 21. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1
recgt0i.2
Assertion
Ref Expression
recgt0ii

Proof of Theorem recgt0ii
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9040 . . . . . 6
2 ltplus1.1 . . . . . . 7
32recni 9094 . . . . . 6
4 ax-1ne0 9051 . . . . . 6
5 recgt0i.2 . . . . . . 7
62, 5gt0ne0ii 9555 . . . . . 6
71, 3, 4, 6divne0i 9754 . . . . 5
87necomi 2680 . . . 4
9 df-ne 2600 . . . 4
108, 9mpbi 200 . . 3
11 0lt1 9542 . . . . 5
12 0re 9083 . . . . . 6
13 1re 9082 . . . . . 6
1412, 13ltnsymi 9184 . . . . 5
1511, 14ax-mp 8 . . . 4
162, 6rereccli 9771 . . . . . . . . 9
1716renegcli 9354 . . . . . . . 8
1817, 2mulgt0i 9197 . . . . . . 7
195, 18mpan2 653 . . . . . 6
2016recni 9094 . . . . . . . 8
2120, 3mulneg1i 9471 . . . . . . 7
223, 6recidi 9737 . . . . . . . . 9
233, 20, 22mulcomli 9089 . . . . . . . 8
2423negeqi 9291 . . . . . . 7
2521, 24eqtri 2455 . . . . . 6
2619, 25syl6breq 4243 . . . . 5
27 lt0neg1 9526 . . . . . 6
2816, 27ax-mp 8 . . . . 5
29 lt0neg1 9526 . . . . . 6
3013, 29ax-mp 8 . . . . 5
3126, 28, 303imtr4i 258 . . . 4
3215, 31mto 169 . . 3
3310, 32pm3.2ni 828 . 2
34 axlttri 9139 . . 3
3512, 16, 34mp2an 654 . 2
3633, 35mpbir 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 177   wo 358   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   clt 9112  cneg 9284   cdiv 9669 This theorem is referenced by:  halfgt0  10180  0.999...  12650  sincos2sgn  12787  rpnnen2lem3  12808  rpnnen2lem4  12809  rpnnen2lem9  12814  pcoass  19041  log2tlbnd  20777  stoweidlem34  27740  stoweidlem59  27765 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670
 Copyright terms: Public domain W3C validator