MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Unicode version

Theorem recld 11987
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 11903 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725   ` cfv 5445   CCcc 8977   RRcr 8978   Recre 11890
This theorem is referenced by:  abstri  12122  sqreulem  12151  eqsqr2d  12160  rlimrege0  12361  recoscl  12730  cos01bnd  12775  cnsubrg  16747  mbfeqa  19523  mbfss  19526  mbfmulc2re  19528  mbfadd  19541  mbfmulc2  19543  mbflim  19548  mbfmul  19606  iblcn  19678  itgcnval  19679  itgre  19680  itgim  19681  iblneg  19682  itgneg  19683  iblss  19684  itgeqa  19693  iblconst  19697  ibladd  19700  itgadd  19704  iblabs  19708  iblabsr  19709  iblmulc2  19710  itgmulc2  19713  itgabs  19714  itgsplit  19715  dvlip  19865  tanregt0  20429  efif1olem4  20435  eff1olem  20438  lognegb  20472  relog  20479  efiarg  20490  cosarg0d  20492  argregt0  20493  argrege0  20494  abslogle  20501  logcnlem4  20524  cxpsqrlem  20581  cxpcn3lem  20619  abscxpbnd  20625  cosangneg2d  20637  angrtmuld  20638  lawcoslem1  20645  isosctrlem1  20650  asinlem3a  20698  asinlem3  20699  asinneg  20714  asinsinlem  20719  asinsin  20720  acosbnd  20728  atanlogaddlem  20741  atanlogadd  20742  atanlogsublem  20743  atanlogsub  20744  atantan  20751  o1cxp  20801  cxploglim2  20805  sqsscirc2  24295  zetacvg  24787  lgamgulmlem2  24802  ibladdnc  26208  itgaddnc  26211  iblabsnc  26215  iblmulc2nc  26216  itgmulc2nc  26219  itgabsnc  26220  bddiblnc  26221  cntotbnd  26442  isosctrlem1ALT  28901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-riota 6540  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-2 10047  df-cj 11892  df-re 11893
  Copyright terms: Public domain W3C validator