MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Unicode version

Theorem recld 11681
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 11597 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686   ` cfv 5257   CCcc 8737   RRcr 8738   Recre 11584
This theorem is referenced by:  abstri  11816  sqreulem  11845  eqsqr2d  11854  rlimrege0  12055  recoscl  12423  cos01bnd  12468  cnsubrg  16434  mbfeqa  19000  mbfss  19003  mbfmulc2re  19005  mbfadd  19018  mbfmulc2  19020  mbflim  19025  mbfmul  19083  iblcn  19155  itgcnval  19156  itgre  19157  itgim  19158  iblneg  19159  itgneg  19160  iblss  19161  itgeqa  19170  iblconst  19174  ibladd  19177  itgadd  19181  iblabs  19185  iblabsr  19186  iblmulc2  19187  itgmulc2  19190  itgabs  19191  itgsplit  19192  dvlip  19342  tanregt0  19903  efif1olem4  19909  eff1olem  19912  lognegb  19945  relog  19952  efiarg  19963  cosarg0d  19965  argregt0  19966  argrege0  19967  logcnlem4  19994  cxpsqrlem  20051  cxpcn3lem  20089  abscxpbnd  20095  cosangneg2d  20107  angrtmuld  20108  lawcoslem1  20115  isosctrlem1  20120  asinlem3a  20168  asinlem3  20169  asinneg  20184  asinsinlem  20189  asinsin  20190  acosbnd  20198  atanlogaddlem  20211  atanlogadd  20212  atanlogsublem  20213  atanlogsub  20214  atantan  20221  o1cxp  20271  cxploglim2  20275  sqsscirc2  23295  zetacvg  23691  cntotbnd  26531
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-2 9806  df-cj 11586  df-re 11587
  Copyright terms: Public domain W3C validator