MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Unicode version

Theorem recld 11886
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
recld  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 recl 11802 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( Re `  A
)  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1715   ` cfv 5358   CCcc 8882   RRcr 8883   Recre 11789
This theorem is referenced by:  abstri  12021  sqreulem  12050  eqsqr2d  12059  rlimrege0  12260  recoscl  12629  cos01bnd  12674  cnsubrg  16649  mbfeqa  19213  mbfss  19216  mbfmulc2re  19218  mbfadd  19231  mbfmulc2  19233  mbflim  19238  mbfmul  19296  iblcn  19368  itgcnval  19369  itgre  19370  itgim  19371  iblneg  19372  itgneg  19373  iblss  19374  itgeqa  19383  iblconst  19387  ibladd  19390  itgadd  19394  iblabs  19398  iblabsr  19399  iblmulc2  19400  itgmulc2  19403  itgabs  19404  itgsplit  19405  dvlip  19555  tanregt0  20119  efif1olem4  20125  eff1olem  20128  lognegb  20162  relog  20169  efiarg  20180  cosarg0d  20182  argregt0  20183  argrege0  20184  abslogle  20191  logcnlem4  20214  cxpsqrlem  20271  cxpcn3lem  20309  abscxpbnd  20315  cosangneg2d  20327  angrtmuld  20328  lawcoslem1  20335  isosctrlem1  20340  asinlem3a  20388  asinlem3  20389  asinneg  20404  asinsinlem  20409  asinsin  20410  acosbnd  20418  atanlogaddlem  20431  atanlogadd  20432  atanlogsublem  20433  atanlogsub  20434  atantan  20441  o1cxp  20491  cxploglim2  20495  sqsscirc2  23662  zetacvg  24247  lgamgulmlem2  24262  ibladdnc  25680  itgaddnc  25683  iblabsnc  25687  iblmulc2nc  25688  itgmulc2nc  25691  itgabsnc  25692  bddiblnc  25693  cntotbnd  26026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-2 9951  df-cj 11791  df-re 11792
  Copyright terms: Public domain W3C validator