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Theorem reclem2pr 8914
Description: Lemma for Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem2pr  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem2pr
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prpssnq 8856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  A  C.  Q. )
2 pssnel 3685 . . . . . 6  |-  ( A 
C.  Q.  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  A
) )
3 recclnq 8832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
4 nsmallnq 8843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Q.  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
65adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. z 
z  <Q  ( *Q `  x ) )
7 recrecnq 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  =  x )
87eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A  <->  x  e.  A ) )
98notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A  <->  -.  x  e.  A ) )
109anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A )  <->  ( z  <Q  ( *Q `  x
)  /\  -.  x  e.  A ) ) )
11 fvex 5733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( *Q
`  x )  e. 
_V
12 breq2 4208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
z  <Q  y  <->  z  <Q  ( *Q `  x ) ) )
13 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  ( *Q `  x ) ) )
1413eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( *Q `  x
) )  e.  A
) )
1514notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A ) )
1612, 15anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( *Q `  x )  ->  (
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( z  <Q 
( *Q `  x
)  /\  -.  ( *Q `  ( *Q `  x ) )  e.  A ) ) )
1711, 16spcev 3035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  ( *Q `  ( *Q
`  x ) )  e.  A )  ->  E. y ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
1810, 17syl6bir 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
19 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  z  e. 
_V
20 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  (
x  <Q  y  <->  z  <Q  y ) )
2120anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
2221exbidv 1636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
23 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
2419, 22, 23elab2 3077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  B  <->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
2518, 24syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( z  <Q  ( *Q `  x )  /\  -.  x  e.  A
)  ->  z  e.  B ) )
2625exp3acom23 1381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( -.  x  e.  A  ->  ( z  <Q  ( *Q `  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
2726imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( z  <Q  ( *Q `  x
)  ->  z  e.  B ) )
2827eximdv 1632 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  ( E. z  z  <Q  ( *Q
`  x )  ->  E. z  z  e.  B ) )
296, 28mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  E. z 
z  e.  B )
30 n0 3629 . . . . . . . 8  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  B )
3129, 30sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  A
)  ->  B  =/=  (/) )
3231exlimiv 1644 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e. 
Q.  /\  -.  x  e.  A )  ->  B  =/=  (/) )
331, 2, 323syl 19 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  B  =/=  (/) )
34 0pss 3657 . . . . 5  |-  ( (/)  C.  B  <->  B  =/=  (/) )
3533, 34sylibr 204 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (/)  C.  B
)
36 prn0 8855 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  A  =/=  (/) )
37 elprnq 8857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
38 recrecnq 8833 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  =  z )
3938eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A  <->  z  e.  A ) )
4039anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A )  <->  ( A  e.  P.  /\  z  e.  A ) ) )
4137, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z
) )  e.  A
)  <->  ( A  e. 
P.  /\  z  e.  A ) ) )
42 fvex 5733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
43 fveq2 5719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  ( *Q `  x )  =  ( *Q `  ( *Q `  z ) ) )
4443eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  (
( *Q `  x
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( *Q `  z
) )  e.  A
) )
4544anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( *Q `  z )  ->  (
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x
)  e.  A )  <-> 
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q `  z ) )  e.  A ) ) )
4642, 45spcev 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  ( *Q
`  z ) )  e.  A )  ->  E. x ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A
) )
4741, 46syl6bir 221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( A  e. 
P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x
( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x
)  e.  A ) ) )
4847pm2.43i 45 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A ) )
49 elprnq 8857 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( *Q `  x
)  e.  Q. )
50 dmrecnq 8834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  *Q  =  Q.
51 0nnq 8790 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  (/)  e.  Q.
5250, 51ndmfvrcl 5747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
5349, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
54 ltrnq 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x 
<Q  y  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x ) )
55 prcdnq 8859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x )  -> 
( *Q `  y
)  e.  A ) )
5654, 55syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
5756alrimiv 1641 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  A. y ( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y )  e.  A
) )
5823abeq2i 2542 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
59 exanali 1595 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  -.  A. y
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
6058, 59bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  B  <->  -.  A. y
( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y
)  e.  A ) )
6160con2bii 323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. y ( x  <Q  y  ->  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  -.  x  e.  B )
6257, 61sylib 189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  ->  -.  x  e.  B
)
6353, 62jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A )  -> 
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
6463eximi 1585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x ( A  e. 
P.  /\  ( *Q `  x )  e.  A
)  ->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
6548, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  B )
)
6665ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  (
z  e.  A  ->  E. x ( x  e. 
Q.  /\  -.  x  e.  B ) ) )
6766exlimdv 1646 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. z  z  e.  A  ->  E. x ( x  e.  Q.  /\  -.  x  e.  B )
) )
68 n0 3629 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  A )
69 nss 3398 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
Q.  C_  B  <->  E. x
( x  e.  Q.  /\ 
-.  x  e.  B
) )
7067, 68, 693imtr4g 262 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  =/=  (/)  ->  -.  Q.  C_  B ) )
7136, 70mpd 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  -.  Q.  C_  B )
72 ltrelnq 8792 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
7372brel 4917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x 
<Q  y  ->  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
7473simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
<Q  y  ->  x  e. 
Q. )
7574adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
7675exlimiv 1644 . . . . . . . 8  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  x  e.  Q. )
7758, 76sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  x  e.  Q. )
7877ssriv 3344 . . . . . 6  |-  B  C_  Q.
7971, 78jctil 524 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  C_  Q.  /\  -.  Q.  C_  B ) )
80 dfpss3 3425 . . . . 5  |-  ( B 
C.  Q.  <->  ( B  C_  Q.  /\  -.  Q.  C_  B ) )
8179, 80sylibr 204 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
8235, 81jca 519 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. ) )
83 ltsonq 8835 . . . . . . . . . . . 12  |-  <Q  Or  Q.
8483, 72sotri 5252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  <Q  x  /\  x  <Q  y )  -> 
z  <Q  y )
8584ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( x 
<Q  y  ->  z  <Q 
y ) )
8685anim1d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  ( z  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
8786eximdv 1632 . . . . . . . 8  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  E. y
( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
8887, 58, 243imtr4g 262 . . . . . . 7  |-  ( z 
<Q  x  ->  ( x  e.  B  ->  z  e.  B ) )
8988com12 29 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  (
z  <Q  x  ->  z  e.  B ) )
9089alrimiv 1641 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  A. z
( z  <Q  x  ->  z  e.  B ) )
91 nfe1 1747 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y E. y ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )
9291nfab 2575 . . . . . . . . 9  |-  F/_ y { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
9323, 92nfcxfr 2568 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
94 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  <Q  z
9593, 94nfrex 2753 . . . . . . 7  |-  F/ y E. z  e.  B  x  <Q  z
96 19.8a 1762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  E. y ( z 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
9796, 24sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  z  e.  B
)
9897adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  z  e.  B )
99 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  x  <Q  z )
10098, 99jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  (
z  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
101100expcom 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y
)  ->  ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
102101eximdv 1632 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( E. z ( x  <Q  z  /\  z  <Q  y )  ->  E. z ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
103 ltbtwnnq 8844 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
<Q  y  <->  E. z ( x 
<Q  z  /\  z  <Q  y ) )
104 df-rex 2703 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  B  x 
<Q  z  <->  E. z ( z  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
105102, 103, 1043imtr4g 262 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  -> 
( x  <Q  y  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z ) )
106105impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10795, 106exlimi 1821 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10858, 107sylbi 188 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  E. z  e.  B  x  <Q  z )
10990, 108jca 519 . . . 4  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) )
110109rgen 2763 . . 3  |-  A. x  e.  B  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z )
11182, 110jctir 525 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. )  /\  A. x  e.  B  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  B )  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) ) )
112 elnp 8853 . 2  |-  ( B  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  B  /\  B  C.  Q. )  /\  A. x  e.  B  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  B
)  /\  E. z  e.  B  x  <Q  z ) ) )
113111, 112sylibr 204 1  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   ` cfv 5445   Q.cnq 8716   *Qcrq 8721    <Q cltq 8722   P.cnp 8723
This theorem is referenced by:  reclem3pr  8915  reclem4pr  8916  recexpr  8917
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-1o 6715  df-oadd 6719  df-omul 6720  df-er 6896  df-ni 8738  df-pli 8739  df-mi 8740  df-lti 8741  df-plpq 8774  df-mpq 8775  df-ltpq 8776  df-enq 8777  df-nq 8778  df-erq 8779  df-plq 8780  df-mq 8781  df-1nq 8782  df-rq 8783  df-ltnq 8784  df-np 8847
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