MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reclem3pr Unicode version

Theorem reclem3pr 8689
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem3pr  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables  z  w  v  u  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 8622 . . . 4  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2403 . . 3  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
3 ltrnq 8619 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q
`  w ) )
4 mulcomnq 8593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )
5 1nq 8568 . . . . . . . . . 10  |-  1Q  e.  Q.
6 recclnq 8606 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( *Q `  1Q )  e. 
Q. )
7 mulidnq 8603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( *Q `  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q ) )
85, 6, 7mp2b 9 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q )
9 recidnq 8605 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q )
105, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1Q 
.Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q
114, 8, 103eqtr3i 2324 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
1211breq1i 4046 . . . . . . 7  |-  ( ( *Q `  1Q ) 
<Q  ( *Q `  w
)  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
133, 12bitri 240 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
14 prlem936 8687 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
1513, 14sylan2b 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
16 prnmax 8635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
1716ad2ant2r 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
18 elprnq 8631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  Q. )
1918ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  v  e.  Q. )
20193adant3 975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  e.  Q. )
21 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  <Q  1Q )
22 ltrelnq 8566 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
2322brel 4753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2423simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2521, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  e.  Q. )
26 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  <Q  z )
27 simp2r 982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )
28 ltrnq 8619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v 
<Q  z  <->  ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v ) )
29 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
30 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( *Q
`  v )  e. 
_V
31 ltmnq 8612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( u  .Q  x )  <Q  (
u  .Q  y ) ) )
32 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  w  e. 
_V
33 mulcomnq 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
( *Q `  z
)  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3528, 34syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) ) )
3736biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
38 mulcomnq 8593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q `  v )  .Q  v
)
39 recidnq 8605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4038, 39syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
41 recidnq 8605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4240, 41oveqan12d 5893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
43 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  v  e. 
_V
44 mulassnq 8599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  .Q  y )  .Q  u )  =  ( x  .Q  (
y  .Q  u ) )
45 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( *Q
`  w )  e. 
_V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  v )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
47 mulidnq 8603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
485, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
50 recclnq 8606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
51 mulclnq 8587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
5250, 51sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
53 recmulnq 8604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  <->  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) )  =  1Q ) )
5452, 53syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
5549, 54mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
5655eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A  <->  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A ) )
5756notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A  <->  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )
5857biimprd 214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A  ->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
5937, 58anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
60 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( *Q `  v )  .Q  w )  e. 
_V
61 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
6362eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A
) )
6463notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
6561, 64anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
6660, 65spcev 2888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  ->  E. y ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
67 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e. 
_V
68 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  y
) )
6968anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
7069exbidv 1616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
7267, 70, 71elab2 2930 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
7366, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B )
7459, 73syl6 29 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B ) )
7574imp 418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B )
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  B
)
7722brel 4753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
7877simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
79783ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  z  e.  Q. )
80 mulcomnq 8593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w
)
81 mulidnq 8603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
8280, 81syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
83 mulassnq 8599 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) )
84 recidnq 8605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
8683, 85syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
8782, 86sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
8879, 25, 87syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
89 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9089eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9190rspcev 2897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) )
9276, 88, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) )
93923expia 1153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9493reximdv 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9571reclem2pr 8688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
96 df-mp 8624 . . . . . . . . . . . 12  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
97 mulclnq 8587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
9896, 97genpelv 8640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
9995, 98mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10099ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10194, 100sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
10217, 101mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) )
103102exp32 588 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  -> 
( v  e.  A  ->  ( -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) ) ) )
104103rexlimdv 2679 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  -> 
( E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) ) )
10515, 104mpd 14 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) )
106105ex 423 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
1072, 106syl5bi 208 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  1P  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) ) )
108107ssrdv 3198 1  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Q.cnq 8490   1Qc1q 8491    .Q cmq 8494   *Qcrq 8495    <Q cltq 8496   P.cnp 8497   1Pc1p 8498    .P. cmp 8500
This theorem is referenced by:  reclem4pr  8690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ni 8512  df-pli 8513  df-mi 8514  df-lti 8515  df-plpq 8548  df-mpq 8549  df-ltpq 8550  df-enq 8551  df-nq 8552  df-erq 8553  df-plq 8554  df-mq 8555  df-1nq 8556  df-rq 8557  df-ltnq 8558  df-np 8621  df-1p 8622  df-mp 8624
  Copyright terms: Public domain W3C validator