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Theorem reclem3pr 8927
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem3pr  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem3pr
Dummy variables  z  w  v  u  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-1p 8860 . . . 4  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
21abeq2i 2544 . . 3  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
3 ltrnq 8857 . . . . . . 7  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  ( *Q `  1Q )  <Q  ( *Q
`  w ) )
4 mulcomnq 8831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )
5 1nq 8806 . . . . . . . . . 10  |-  1Q  e.  Q.
6 recclnq 8844 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( *Q `  1Q )  e. 
Q. )
7 mulidnq 8841 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( *Q `  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( *Q `  1Q )  .Q  1Q )  =  ( *Q `  1Q )
9 recidnq 8843 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q )
105, 9ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1Q 
.Q  ( *Q `  1Q ) )  =  1Q
114, 8, 103eqtr3i 2465 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  1Q )  =  1Q
1211breq1i 4220 . . . . . . 7  |-  ( ( *Q `  1Q ) 
<Q  ( *Q `  w
)  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
133, 12bitri 242 . . . . . 6  |-  ( w 
<Q  1Q  <->  1Q  <Q  ( *Q
`  w ) )
14 prlem936 8925 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  ( *Q `  w ) )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
1513, 14sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  E. v  e.  A  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A )
16 prnmax 8873 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
1716ad2ant2r 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  E. z  e.  A  v  <Q  z )
18 elprnq 8869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  A )  ->  v  e.  Q. )
1918ad2ant2r 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  v  e.  Q. )
20193adant3 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  e.  Q. )
21 simp1r 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  <Q  1Q )
22 ltrelnq 8804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
2322brel 4927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. ) )
2423simpld 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w 
<Q  1Q  ->  w  e.  Q. )
2521, 24syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  e.  Q. )
26 simp3 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  v  <Q  z )
27 simp2r 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )
28 ltrnq 8857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v 
<Q  z  <->  ( *Q `  z )  <Q  ( *Q `  v ) )
29 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( *Q
`  z )  e. 
_V
30 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( *Q
`  v )  e. 
_V
31 ltmnq 8850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( u  .Q  x )  <Q  (
u  .Q  y ) ) )
32 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  w  e. 
_V
33 mulcomnq 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
3429, 30, 31, 32, 33caovord2 6260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
( *Q `  z
)  <Q  ( *Q `  v )  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3528, 34syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
3635adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  <->  ( ( *Q `  z
)  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) ) )
3736biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  <Q  z  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) ) )
38 mulcomnq 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  .Q  ( *Q `  v ) )  =  ( ( *Q `  v )  .Q  v
)
39 recidnq 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  ( *Q
`  v ) )  =  1Q )
4038, 39syl5eqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
( *Q `  v
)  .Q  v )  =  1Q )
41 recidnq 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
4240, 41oveqan12d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  v )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
43 vex 2960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  v  e. 
_V
44 mulassnq 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  .Q  y )  .Q  u )  =  ( x  .Q  (
y  .Q  u ) )
45 fvex 5743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( *Q
`  w )  e. 
_V
4630, 43, 32, 33, 44, 45caov4 6279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  v )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
47 mulidnq 8841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
485, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
4942, 46, 483eqtr3g 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q )
50 recclnq 8844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  Q.  ->  ( *Q `  v )  e. 
Q. )
51 mulclnq 8825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( *Q `  v
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
5250, 51sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  v )  .Q  w
)  e.  Q. )
53 recmulnq 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( *Q `  v
)  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  <->  ( (
( *Q `  v
)  .Q  w )  .Q  ( v  .Q  ( *Q `  w
) ) )  =  1Q ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  =  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  .Q  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
5549, 54mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) )  =  ( v  .Q  ( *Q `  w ) ) )
5655eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A  <->  ( v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A ) )
5756notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A  <->  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )
5857biimprd 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( -.  ( v  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  A  ->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
5937, 58anim12d 548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w )  /\  -.  ( *Q
`  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
60 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( *Q `  v )  .Q  w )  e. 
_V
61 breq2 4217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
62 fveq2 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  v
)  .Q  w ) ) )
6362eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  A  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w
) )  e.  A
) )
6463notbid 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  ( -.  ( *Q `  y
)  e.  A  <->  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) )
6561, 64anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  ->  (
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  v )  .Q  w
)  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q
`  v )  .Q  w ) )  e.  A ) ) )
6660, 65spcev 3044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  ->  E. y ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) )
67 ovex 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e. 
_V
68 breq1 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
x  <Q  y  <->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q  y
) )
6968anbi1d 687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
)  <->  ( ( ( *Q `  z )  .Q  w )  <Q 
y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A ) ) )
7069exbidv 1637 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) ) )
71 reclempr.1 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
7267, 70, 71elab2 3086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B  <->  E. y
( ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
7366, 72sylibr 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  <Q  ( ( *Q
`  v )  .Q  w )  /\  -.  ( *Q `  ( ( *Q `  v )  .Q  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B )
7459, 73syl6 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( v  <Q 
z  /\  -.  (
v  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  A )  -> 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B ) )
7574imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  /\  ( v  <Q  z  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  B )
7620, 25, 26, 27, 75syl22anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  B
)
7722brel 4927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v 
<Q  z  ->  ( v  e.  Q.  /\  z  e.  Q. ) )
7877simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v 
<Q  z  ->  z  e. 
Q. )
79783ad2ant3 981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  z  e.  Q. )
80 mulcomnq 8831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w
)
81 mulidnq 8841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
8280, 81syl5reqr 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
83 mulassnq 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  .Q  ( *Q
`  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) )
84 recidnq 8843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
8584oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
8683, 85syl5reqr 2484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
8782, 86sylan9eqr 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
8879, 25, 87syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
89 oveq2 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9089eqeq2d 2448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9190rspcev 3053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  B  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) )
9276, 88, 91syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
)  /\  v  <Q  z )  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) )
93923expia 1156 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
v  <Q  z  ->  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9493reximdv 2818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
9571reclem2pr 8926 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
96 df-mp 8862 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
97 mulclnq 8825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
9896, 97genpelv 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
9995, 98mpdan 651 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10099ad2antrr 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
10194, 100sylibrd 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  ( E. z  e.  A  v  <Q  z  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
10217, 101mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  ( v  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  A
) )  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) )
10315, 102rexlimddv 2835 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  <Q  1Q )  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) )
104103ex 425 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  <Q  1Q  ->  w  e.  ( A  .P.  B
) ) )
1052, 104syl5bi 210 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  1P  ->  w  e.  ( A  .P.  B ) ) )
106105ssrdv 3355 1  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2423   E.wrex 2707    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Q.cnq 8728   1Qc1q 8729    .Q cmq 8732   *Qcrq 8733    <Q cltq 8734   P.cnp 8735   1Pc1p 8736    .P. cmp 8738
This theorem is referenced by:  reclem4pr  8928
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-ni 8750  df-pli 8751  df-mi 8752  df-lti 8753  df-plpq 8786  df-mpq 8787  df-ltpq 8788  df-enq 8789  df-nq 8790  df-erq 8791  df-plq 8792  df-mq 8793  df-1nq 8794  df-rq 8795  df-ltnq 8796  df-np 8859  df-1p 8860  df-mp 8862
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