Theorem reclem4pr 5142

Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124.

Hypothesis

Ref	Expression
reclempr.1	|- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}

Assertion

Ref	Expression
reclem4pr	|- (A e. P. -> (A .P. B) = 1P)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B

Proof of Theorem reclem4pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reclempr.1	. . . . . . 7 |- B = {x | E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A)}
2	1	reclem2pr 5140	. . . . . 6 |- (A e. P. -> B e. P.)
3		df-mp 5072	. . . . . . 7 |- .P. = {<.<.y, w>., v>. | ((y e. P. /\ w e. P.) /\ v = {u | E.f e. y E.g e. w u = (f .Q g)})}
4		visset 1810	. . . . . . 7 |- w e. V
5	3, 4	genpelv 5086	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (w e. (A .P. B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
6	2, 5	mpdan 703	. . . . 5 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) <-> E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x))))
7		elprpq 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> z e. Q.)
8		visset 1810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. V
9		visset 1810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. V
10	8, 9	ltmpq 5060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
11	7, 10	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y <-> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
12	11	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (x <Q y -> (z .Q x) <Q (z .Q y)))
14		prub 5081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ (*Q` y) e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
15		recclpq 5055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (*Q` y) e. Q.)
16	14, 15	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> z <Q (*Q` y)))
17		visset 1810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- z e. V
18		fvex 3727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (*Q` y) e. V
19	17, 18	ltmpq 5060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y))))
20	9, 17	mulcompq 5047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y .Q z) = (z .Q y)
21	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q z) = (z .Q y))
22		recidpq 5054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (y e. Q. -> (y .Q (*Q` y)) = 1Q)
23	21, 22	breq12d 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. Q. -> ((y .Q z) <Q (y .Q (*Q` y)) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
24	19, 23	bitrd 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. Q. -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
25	24	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (z <Q (*Q` y) <-> (z .Q y) <Q 1Q))
26	16, 25	sylibd 202	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q y) <Q 1Q))
27	13, 26	anim12d 557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> ((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q)))
28		oprex 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q x) e. V
29		ltsopq 5058	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q Or Q.
30		ltrelpq 5034	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- <Q (_ (Q. X. Q.)
31		oprex 3978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z .Q y) e. V
32		1q 5040	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1Q e. Q.
33	32	elisseti 1815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1Q e. V
34	28, 29, 30, 31, 33	sotri 3439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((z .Q x) <Q (z .Q y) /\ (z .Q y) <Q 1Q) -> (z .Q x) <Q 1Q)
35	27, 34	syl6 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. P. /\ z e. A) /\ y e. Q.) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
36	35	exp4b 379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (y e. Q. -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
37	9, 30	brel 3219	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x <Q y -> (x e. Q. /\ y e. Q.))
38	37	pm3.27d 325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x <Q y -> y e. Q.)
39	36, 38	syl5 21	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q))))
40	39	pm2.43d 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x <Q y -> (-. (*Q` y) e. A -> (z .Q x) <Q 1Q)))
41	40	imp3a 361	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> ((x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
42	41	19.23adv 1213	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A) -> (z .Q x) <Q 1Q))
43	1	abeq2i 1568	. . . . . . . . . 10 |- (x e. B <-> E.y(x <Q y /\ -. (*Q` y) e. A))
44	42, 43	syl5ib 206	. . . . . . . . 9 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (z .Q x) <Q 1Q))
45		breq1 2618	. . . . . . . . . 10 |- (w = (z .Q x) -> (w <Q 1Q <-> (z .Q x) <Q 1Q))
46	45	biimprcd 156	. . . . . . . . 9 |- ((z .Q x) <Q 1Q -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))
47	44, 46	syl6 22	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ z e. A) -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q)))
48	47	ex 373	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (z e. A -> (x e. B -> (w = (z .Q x) -> w <Q 1Q))))
49	48	imp4c 366	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
50	49	19.23advv 1296	. . . . 5 |- (A e. P. -> (E.zE.x((z e. A /\ x e. B) /\ w = (z .Q x)) -> w <Q 1Q))
51	6, 50	sylbid 203	. . . 4 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) -> w <Q 1Q))
52		df-1p 5070	. . . . 5 |- 1P = {w | w <Q 1Q}
53	52	abeq2i 1568	. . . 4 |- (w e. 1P <-> w <Q 1Q)
54	51, 53	syl6ibr 213	. . 3 |- (A e. P. -> (w e. (A .P. B) -> w e. 1P))
55	54	ssrdv 2067	. 2 |- (A e. P. -> (A .P. B) (_ 1P)
56	1	reclem3pr 5141	. 2 |- (A e. P. -> 1P (_ (A .P. B))
57	55, 56	eqssd 2076	1 |- (A e. P. -> (A .P. B) = 1P)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1462   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  Q.cnq 4962  1Qc1q 4963   .Q cmq 4965  *Qcrq 4966   <Q cltq 4967  P.cnp 4968  1Pc1p 4969   .P. cmp 4971

This theorem is referenced by:  recexpr 5143

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-mp 5072

Copyright terms: Public domain