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Theorem reclem4pr 8554
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem4pr  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  =  1P )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem4pr
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
21reclem2pr 8552 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
3 df-mp 8488 . . . . . . 7  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
4 mulclnq 8451 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 8504 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
62, 5mpdan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
71abeq2i 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
8 ltrelnq 8430 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
98brel 4644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
<Q  y  ->  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
109simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
<Q  y  ->  y  e. 
Q. )
11 elprnq 8495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
12 ltmnq 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z  .Q  x )  <Q  (
z  .Q  y ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( z  .Q  x ) 
<Q  ( z  .Q  y
) ) )
1413biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y ) ) )
1514adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( z  .Q  x )  <Q  (
z  .Q  y ) ) )
16 recclnq 8470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
17 prub 8498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  z  <Q  ( *Q `  y ) ) )
1816, 17sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  z  <Q  ( *Q `  y ) ) )
19 ltmnq 8476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( *Q `  y )  <->  ( y  .Q  z )  <Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) ) )
20 mulcomnq 8457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y
)
2120a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
22 recidnq 8469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
2321, 22breq12d 3933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( y  .Q  z
)  <Q  ( y  .Q  ( *Q `  y
) )  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2419, 23bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( *Q `  y )  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2524adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q 
( *Q `  y
)  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2618, 25sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2715, 26anim12d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  ->  (
( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y )  /\  (
z  .Q  y ) 
<Q  1Q ) ) )
28 ltsonq 8473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
2928, 8sotri 4977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y )  /\  (
z  .Q  y ) 
<Q  1Q )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q )
3027, 29syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q ) )
3130exp4b 593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( y  e.  Q.  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) ) )
3210, 31syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) ) )
3332pm2.43d 46 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) )
3433imp3a 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q ) )
3534exlimdv 1932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) )
367, 35syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  .Q  x
)  <Q  1Q ) )
37 breq1 3923 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  (
w  <Q  1Q  <->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) )
3837biimprcd 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  .Q  x ) 
<Q  1Q  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) )
3936, 38syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) ) )
4039expimpd 589 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( z  e.  A  /\  x  e.  B
)  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) ) )
4140rexlimdvv 2635 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) )
426, 41sylbid 208 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  ->  w  <Q  1Q ) )
43 df-1p 8486 . . . . 5  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
4443abeq2i 2356 . . . 4  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
4542, 44syl6ibr 220 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  ->  w  e.  1P )
)
4645ssrdv 3106 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  C_  1P )
471reclem3pr 8553 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
4846, 47eqssd 3117 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  =  1P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2239   E.wrex 2510   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Q.cnq 8354   1Qc1q 8355    .Q cmq 8358   *Qcrq 8359    <Q cltq 8360   P.cnp 8361   1Pc1p 8362    .P. cmp 8364
This theorem is referenced by:  recexpr  8555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-omul 6370  df-er 6546  df-ni 8376  df-pli 8377  df-mi 8378  df-lti 8379  df-plpq 8412  df-mpq 8413  df-ltpq 8414  df-enq 8415  df-nq 8416  df-erq 8417  df-plq 8418  df-mq 8419  df-1nq 8420  df-rq 8421  df-ltnq 8422  df-np 8485  df-1p 8486  df-mp 8488
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