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Theorem reclem4pr 8642
Description: Lemma for Proposition 9-3.7(v) of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 30-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
reclempr.1  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
Assertion
Ref Expression
reclem4pr  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  =  1P )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem reclem4pr
StepHypRef Expression
1 reclempr.1 . . . . . . 7  |-  B  =  { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A ) }
21reclem2pr 8640 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
3 df-mp 8576 . . . . . . 7  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  { u  |  E. f  e.  y  E. g  e.  w  u  =  ( f  .Q  g ) } )
4 mulclnq 8539 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 8592 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x ) ) )
62, 5mpdan 652 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  <->  E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x
) ) )
71abeq2i 2365 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  B  <->  E. y
( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A
) )
8 ltrelnq 8518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
98brel 4725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
<Q  y  ->  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )
109simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x 
<Q  y  ->  y  e. 
Q. )
11 elprnq 8583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  Q. )
12 ltmnq 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( z  .Q  x )  <Q  (
z  .Q  y ) ) )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( z  .Q  x ) 
<Q  ( z  .Q  y
) ) )
1413biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y ) ) )
1514adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( z  .Q  x )  <Q  (
z  .Q  y ) ) )
16 recclnq 8558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
17 prub 8586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  z  <Q  ( *Q `  y ) ) )
1816, 17sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  z  <Q  ( *Q `  y ) ) )
19 ltmnq 8564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( *Q `  y )  <->  ( y  .Q  z )  <Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) ) )
20 mulcomnq 8545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y
)
2120a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y ) )
22 recidnq 8557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
2321, 22breq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( y  .Q  z
)  <Q  ( y  .Q  ( *Q `  y
) )  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2419, 23bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  ( *Q `  y )  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2524adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( z  <Q 
( *Q `  y
)  <->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2618, 25sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  ( *Q `  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  y )  <Q  1Q ) )
2715, 26anim12d 548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  ->  (
( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y )  /\  (
z  .Q  y ) 
<Q  1Q ) ) )
28 ltsonq 8561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <Q  Or  Q.
2928, 8sotri 5058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( z  .Q  x
)  <Q  ( z  .Q  y )  /\  (
z  .Q  y ) 
<Q  1Q )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q )
3027, 29syl6 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( x 
<Q  y  /\  -.  ( *Q `  y )  e.  A )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q ) )
3130exp4b 593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( y  e.  Q.  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) ) )
3210, 31syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) ) )
3332pm2.43d 46 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  <Q  y  ->  ( -.  ( *Q
`  y )  e.  A  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) ) )
3433imp3a 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q
`  y )  e.  A )  ->  (
z  .Q  x ) 
<Q  1Q ) )
3534exlimdv 1933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( E. y ( x  <Q  y  /\  -.  ( *Q `  y
)  e.  A )  ->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) )
367, 35syl5bi 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( z  .Q  x
)  <Q  1Q ) )
37 breq1 4000 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  (
w  <Q  1Q  <->  ( z  .Q  x )  <Q  1Q ) )
3837biimprcd 218 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  .Q  x ) 
<Q  1Q  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) )
3936, 38syl6 31 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  z  e.  A )  ->  ( x  e.  B  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) ) )
4039expimpd 589 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  (
( z  e.  A  /\  x  e.  B
)  ->  ( w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) ) )
4140rexlimdvv 2648 . . . . 5  |-  ( A  e.  P.  ->  ( E. z  e.  A  E. x  e.  B  w  =  ( z  .Q  x )  ->  w  <Q  1Q ) )
426, 41sylbid 208 . . . 4  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  ->  w  <Q  1Q ) )
43 df-1p 8574 . . . . 5  |-  1P  =  { w  |  w  <Q  1Q }
4443abeq2i 2365 . . . 4  |-  ( w  e.  1P  <->  w  <Q  1Q )
4542, 44syl6ibr 220 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( A  .P.  B )  ->  w  e.  1P )
)
4645ssrdv 3160 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  C_  1P )
471reclem3pr 8641 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  1P  C_  ( A  .P.  B
) )
4846, 47eqssd 3171 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( A  .P.  B )  =  1P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2244   E.wrex 2519   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Q.cnq 8442   1Qc1q 8443    .Q cmq 8446   *Qcrq 8447    <Q cltq 8448   P.cnp 8449   1Pc1p 8450    .P. cmp 8452
This theorem is referenced by:  recexpr  8643
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-pli 8465  df-mi 8466  df-lti 8467  df-plpq 8500  df-mpq 8501  df-ltpq 8502  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-plq 8506  df-mq 8507  df-1nq 8508  df-rq 8509  df-ltnq 8510  df-np 8573  df-1p 8574  df-mp 8576
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