Theorem recmulpq 5050

Description: Relationship between reciprocal and multiplication on positive fractions.

Hypothesis

Ref	Expression
recmulpq.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
recmulpq	|- (A e. Q. -> ((*Q` A) = B <-> (A .Q B) = 1Q))

Proof of Theorem recmulpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recmulpq.1	. 2 |- B e. V
2		opreq1 3959	. . 3 |- (x = A -> (x .Q y) = (A .Q y))
3	2	eqeq1d 1480	. 2 |- (x = A -> ((x .Q y) = 1Q <-> (A .Q y) = 1Q))
4		opreq2 3960	. . 3 |- (y = B -> (A .Q y) = (A .Q B))
5	4	eqeq1d 1480	. 2 |- (y = B -> ((A .Q y) = 1Q <-> (A .Q B) = 1Q))
6		df-nq 5018	. . . 4 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
7		opreq1 3959	. . . . . 6 |- ([<.z, w>.] ~Q = x -> ([<.z, w>.] ~Q .Q y) = (x .Q y))
8	7	eqeq1d 1480	. . . . 5 |- ([<.z, w>.] ~Q = x -> (([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q <-> (x .Q y) = 1Q))
9	8	exbidv 1277	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = x -> (E.y([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q <-> E.y(x .Q y) = 1Q))
10		mulpipq 5035	. . . . . . . 8 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (w e. N. /\ z e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
11	10	an42s 509	. . . . . . 7 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
12	11	anidms 434	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
13		mulclpi 5001	. . . . . . 7 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> (z .N w) e. N.)
14		oprex 3974	. . . . . . . . 9 |- (z .N w) e. V
15	14	1qec 5048	. . . . . . . 8 |- ((z .N w) e. N. -> 1Q = [<.(z .N w), (z .N w)>.] ~Q )
16		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
17		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- w e. V
18	16, 17	mulcompi 5004	. . . . . . . . . 10 |- (z .N w) = (w .N z)
19	18	opeq2i 2487	. . . . . . . . 9 |- <.(z .N w), (z .N w)>. = <.(z .N w), (w .N z)>.
20		eceq2 4268	. . . . . . . . 9 |- (<.(z .N w), (z .N w)>. = <.(z .N w), (w .N z)>. -> [<.(z .N w), (z .N w)>.] ~Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
21	19, 20	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- [<.(z .N w), (z .N w)>.] ~Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q
22	15, 21	syl6eq 1520	. . . . . . 7 |- ((z .N w) e. N. -> 1Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
23	13, 22	syl 10	. . . . . 6 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> 1Q = [<.(z .N w), (w .N z)>.] ~Q )
24	12, 23	eqtr4d 1507	. . . . 5 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = 1Q)
25		enqex 5028	. . . . . . 7 |- ~Q e. V
26		ecexg 4255	. . . . . . 7 |- ( ~Q e. V -> [<.w, z>.] ~Q e. V)
27	25, 26	ax-mp 7	. . . . . 6 |- [<.w, z>.] ~Q e. V
28		opreq2 3960	. . . . . . 7 |- (y = [<.w, z>.] ~Q -> ([<.z, w>.] ~Q .Q y) = ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ))
29	28	eqeq1d 1480	. . . . . 6 |- (y = [<.w, z>.] ~Q -> (([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q <-> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = 1Q))
30	27, 29	cla4ev 1865	. . . . 5 |- (([<.z, w>.] ~Q .Q [<.w, z>.] ~Q ) = 1Q -> E.y([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q)
31	24, 30	syl 10	. . . 4 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> E.y([<.z, w>.] ~Q .Q y) = 1Q)
32	6, 9, 31	ecoptocl 4293	. . 3 |- (x e. Q. -> E.y(x .Q y) = 1Q)
33		eu5 1407	. . . 4 |- (E!y(x .Q y) = 1Q <-> (E.y(x .Q y) = 1Q /\ E*y(x .Q y) = 1Q))
34		visset 1809	. . . . 5 |- x e. V
35		1q 5037	. . . . 5 |- 1Q e. Q.
36		dmmulpq 5041	. . . . 5 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
37		0npq 5030	. . . . 5 |- -. (/) e. Q.
38	16, 17	mulcompq 5044	. . . . 5 |- (z .Q w) = (w .Q z)
39		visset 1809	. . . . . 6 |- v e. V
40	17, 39	mulasspq 5045	. . . . 5 |- ((z .Q w) .Q v) = (z .Q (w .Q v))
41		mulidpq 5049	. . . . 5 |- (z e. Q. -> (z .Q 1Q) = z)
42	34, 35, 36, 37, 38, 40, 41	caoprmo 4062	. . . 4 |- E*y(x .Q y) = 1Q
43	33, 42	mpbiran2 728	. . 3 |- (E!y(x .Q y) = 1Q <-> E.y(x .Q y) = 1Q)
44	32, 43	sylibr 200	. 2 |- (x e. Q. -> E!y(x .Q y) = 1Q)
45		df-rq 5021	. 2 |- *Q = {<.x, y>. | (x e. Q. /\ (x .Q y) = 1Q)}
46	1, 3, 5, 44, 45	fvopab3 3768	1 |- (A e. Q. -> ((*Q` A) = B <-> (A .Q B) = 1Q))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E!weu 1378  E*wmo 1379  Vcvv 1807  <.cop 2407  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  [cec 4249  N.cnpi 4952   .N cmi 4954   ~Q ceq 4958  Q.cnq 4959  1Qc1q 4960   .Q cmq 4962  *Qcrq 4963

This theorem is referenced by:  recidpq 5051  recrecpq 5053  reclem3pr 5138

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-mi 4982  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-mq 5020  df-rq 5021  df-1q 5023

Copyright terms: Public domain