Theorem recnd 5295

Description: Deduction from real number to complex number.

Hypothesis

Ref	Expression
recnd.1	|- (ph -> A e. RR)

Assertion

Ref	Expression
recnd	|- (ph -> A e. CC)

Proof of Theorem recnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnd.1	. 2 |- (ph -> A e. RR)
2		recnt 5293	. 2 |- (A e. RR -> A e. CC)
3	1, 2	syl 10	1 |- (ph -> A e. CC)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 956  CCcc 5212  RRcr 5213

This theorem is referenced by:  recp1lt1 5857  recrecltt 5858  ledivp1t 5861  zcnt 6095  zeot 6154  ceim1lt 6200  icoshftf1oi 6350  expordit 6539  exple1t 6546  expubndt 6547  bernneq2 6592  discrlem3 6596  sqsqr 6659  replimtOLD 6701  cjclt 6704  imret 6718  reim0t 6719  reim0bt 6720  resubt 6749  imsubt 6752  recjt 6761  imcjt 6762  cj11t 6773  absexpt 6811  abs2difabst 6848  caure 6872  cauim 6873  ser1absdiflem 6874  facdivt 6887  faclbnd 6890  faclbnd5 6898  fsumcmpndx2 6988  fsumabs 6989  climrecl 7055  climge0 7057  climmullem3 7066  climmullem4 7067  climsqueeze 7084  climsqueeze2 7085  climabs 7093  climre 7095  climim 7096  caucvg 7107  caucvg3a 7108  caucvg3lem 7110  ser1cmp2 7121  cvgcmp2lem 7124  cvgcmp3c 7130  cvgcmp3cetlem1 7132  reccnv 7161  infcvglem2 7165  cvgratlem1 7193  cvgratlem2 7194  ivthlem6 7229  ivthlem7 7230  dsupivthlem 7234  ivthlem6OLD 7238  ivthlem7OLD 7239  erelem3 7271  efcj 7286  ef1tllem 7331  abspef01tlub 7344  resin4pt 7386  recos4pt 7387  efeult 7399  sin01bndlem2 7418  sin01bndlem3 7419  cos01bndlem2 7420  cos01bndlem3 7421  sin01gt0 7426  cos01gt0 7427  sin02gt0 7428  absefit 7432  metsym 7766  metge0 7771  lmle 7911  bcthlem1 7949  bcthlem25 7973  nvm1 8244  nvpi 8246  nvz0 8248  nvmtri 8251  nvabs 8253  nvge0 8254  nv1 8256  nmcnilem 8285  sm1cnilem 8294  ipval2lem4 8303  ipval2 8304  4ipval2 8305  4ipval3 8309  ipid 8310  ipcj 8314  ip0r 8317  ipz 8319  ip1cnilem3 8322  ip1cnilem5 8324  ip1cnilem6 8325  nmoub3i 8381  nmlno0lem 8398  nmblolbii 8403  blocnilem 8408  cnph 8422  ipasslem4 8437  ipasslem5 8438  ipblnfi 8460  ubthlem7 8479  ubthlem8 8480  ubthlem9 8481  ubthlem10 8482  ubthlem12 8484  minveclem9 8497  minveclem18 8506  minveclem25 8513  minveclem27 8515  minveclem30 8518  minveclem36 8524  minveclem38 8526  htthlem6 8568  pilem3 8611  sincosq2sgn 8641  sincosq3sgn 8642  sincosq4sgn 8643  sinq12gt0t 8644  efif1lem4 8667  shftefif1olem 8680  eff1lem 8682  eff1i 8683  effoi 8684  reeflogt 8700  relogeftb 8704  reexplogt 8712  relogexpt 8713  normpyct 8952  hhph 8984  bcs2t 8988  norm1t 9060  norm1ex 9061  projlem25 9149  projlem26 9150  pjthlem4 9160  pjthlem6 9162  pjthlem8 9164  pjthlem11 9167  pjspansnt 9440  osumlem3 9520  eigvalclt 9824  eighmortht 9827  nmlnop0ALT 9858  nmbdoplb 9887  nmcopexlem3 9891  nmcopexlem5 9893  nmcopexlem6 9894  nmcoplb 9896  lnopcon 9901  nmbdfnlb 9916  nmcfnexlem3 9920  nmcfnexlem5 9922  nmcfnexlem6 9923  nmcfnlb 9925  lnfncon 9928  riesz4 9934  cnlnadjlem2 9939  cnlnadjlem7 9944  nmopco 9966  nmopcoadj 9972  branmfnt 9976  leopnmidt 10009  hmopidmchlem 10016  hmopidmch 10017  hst1ht 10092  hstlet 10095  hstoht 10097  sto2 10102  stadd3 10113  strlem1 10115  golem1 10136  stcltrlem1 10141  cdj1 10294  cdj3lem1 10295  cdj3lem3b 10301  cdj3 10302  dmse1 10503  msr3 10505  msr4 10506  iintlem1 10512

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-c 5220  df-r 5224

Copyright terms: Public domain