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Theorem reconn 18349
Description: A subset of the reals is connected iff it has the interval property. (Contributed by Jeff Hankins, 15-Jul-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
reconn  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem reconn
Dummy variables  b 
c  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reconnlem1 18347 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A )  e.  Con )  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x [,] y
)  C_  A )
21ralrimivva 2648 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
32ex 423 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A ) )
4 n0 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( u  i^i  A
) )
5 n0 3477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( v  i^i  A )  =/=  (/)  <->  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) )
64, 5anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  i^i  A
)  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
7 eeanv 1866 . . . . . . . . 9  |-  ( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A )  /\  c  e.  ( v  i^i  A ) )  <->  ( E. b  b  e.  (
u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A
) ) )
8 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  A  C_  RR )
9 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  A )  C_  A
10 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
119, 10sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  A )
128, 11sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
b  e.  RR )
13 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  i^i  A )  C_  A
14 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
1513, 14sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  A )
168, 15sseldd 3194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  -> 
c  e.  RR )
178adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A  C_  RR )
18 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
20 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
2120ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
22 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
2310adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
2414adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
25 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
26 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  -> 
b  <_  c )
27 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( u  i^i  (
b [,] c ) ) ,  RR ,  <  )
2817, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27reconnlem2 18348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  b  <_  c )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
298adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A  C_  RR )
3020ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
v  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
3118ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A )
3314adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  e.  ( v  i^i  A ) )
3410adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
b  e.  ( u  i^i  A ) )
35 incom 3374 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  i^i  u )  =  ( u  i^i  v
)
36 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A ) )
3735, 36syl5eqss 3235 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
( v  i^i  u
)  C_  ( RR  \  A ) )
38 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  -> 
c  <_  b )
39 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup (
( v  i^i  (
c [,] b ) ) ,  RR ,  <  )
4029, 30, 31, 32, 33, 34, 37, 38, 39reconnlem2 18348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( v  u.  u ) )
41 uncom 3332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  u.  u )  =  ( u  u.  v
)
4241sseq2i 3216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A 
C_  ( v  u.  u )  <->  A  C_  (
u  u.  v ) )
4340, 42sylnib 295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  /\  c  <_  b )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4412, 16, 28, 43lecasei 8942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  ( topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  /\  ( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) )
4544exp32 588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4645exlimdvv 1627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( E. b E. c ( b  e.  ( u  i^i  A
)  /\  c  e.  ( v  i^i  A
) )  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
477, 46syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( E. b 
b  e.  ( u  i^i  A )  /\  E. c  c  e.  ( v  i^i  A ) )  ->  ( (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
)  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
486, 47syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/) )  -> 
( ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
4948exp3a 425 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  ->  (
( v  i^i  A
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  v
)  C_  ( RR  \  A )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) ) )
50493impd 1165 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( u  e.  (
topGen `  ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A )  -> 
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) )
5150ex 423 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
u  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  v  e.  ( topGen `  ran  (,) )
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y
)  C_  A  ->  ( ( ( u  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
v  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A ) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v
) ) ) )
5251ralrimdvva 2651 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
53 retopon 18288 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
54 connsub 17163 . . . 4  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  A  C_  RR )  ->  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5553, 54mpan 651 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. u  e.  ( topGen `  ran  (,) ) A. v  e.  ( topGen `
 ran  (,) )
( ( ( u  i^i  A )  =/=  (/)  /\  ( v  i^i 
A )  =/=  (/)  /\  (
u  i^i  v )  C_  ( RR  \  A
) )  ->  -.  A  C_  ( u  u.  v ) ) ) )
5652, 55sylibrd 225 . 2  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x [,] y ) 
C_  A  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con )
)
573, 56impbid 183 1  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  e.  Con  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x [,] y )  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    \ cdif 3162    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   supcsup 7209   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ↾t crest 13341   topGenctg 13358  TopOnctopon 16648   Conccon 17153
This theorem is referenced by:  retopcon  18350  iccconn  18351  rescon  23792  iooscon  23793  iccllyscon  23796  icccon2  25803  icccon3  25804  icccon4  25805  reconnOLD  26358  ivthALT  26361
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-con 17154
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