Theorem recosvalt 7376

Description: The cosine of a real number in terms of the exponential function.

Assertion

Ref	Expression
recosvalt	|- (A e. RR -> (cos` A) = (Re` (exp` (i x. A))))

Proof of Theorem recosvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnt 5285	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
2		axicn 5242	. . . . . . . . 9 |- i e. CC
3		cjmult 6748	. . . . . . . . 9 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (*` (i x. A)) = ((*` i) x. (*` A)))
4	2, 3	mpan 693	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (*` (i x. A)) = ((*` i) x. (*` A)))
5	1, 4	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (*` (i x. A)) = ((*` i) x. (*` A)))
6		cjret 6745	. . . . . . . . 9 |- (A e. RR -> (*` A) = A)
7	6	opreq2d 3961	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> (-ui x. (*` A)) = (-ui x. A))
8		cji 6762	. . . . . . . . 9 |- (*` i) = -ui
9	8	opreq1i 3956	. . . . . . . 8 |- ((*` i) x. (*` A)) = (-ui x. (*` A))
10	7, 9	syl5eq 1511	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> ((*` i) x. (*` A)) = (-ui x. A))
11	5, 10	eqtrd 1499	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (*` (i x. A)) = (-ui x. A))
12	11	fveq2d 3713	. . . . 5 |- (A e. RR -> (exp` (*` (i x. A))) = (exp` (-ui x. A)))
13		axmulcl 5245	. . . . . . . 8 |- ((i e. CC /\ A e. CC) -> (i x. A) e. CC)
14	2, 13	mpan 693	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (i x. A) e. CC)
15	1, 14	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (i x. A) e. CC)
16		efcjt 7279	. . . . . 6 |- ((i x. A) e. CC -> (exp` (*` (i x. A))) = (*` (exp` (i x. A))))
17	15, 16	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (exp` (*` (i x. A))) = (*` (exp` (i x. A))))
18	12, 17	eqtr3d 1501	. . . 4 |- (A e. RR -> (exp` (-ui x. A)) = (*` (exp` (i x. A))))
19	18	opreq2d 3961	. . 3 |- (A e. RR -> ((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) = ((exp` (i x. A)) + (*` (exp` (i x. A)))))
20	19	opreq1d 3960	. 2 |- (A e. RR -> (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2) = (((exp` (i x. A)) + (*` (exp` (i x. A)))) / 2))
21		cosvalt 7372	. . 3 |- (A e. CC -> (cos` A) = (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2))
22	1, 21	syl 10	. 2 |- (A e. RR -> (cos` A) = (((exp` (i x. A)) + (exp` (-ui x. A))) / 2))
23		efclt 7254	. . . 4 |- ((i x. A) e. CC -> (exp` (i x. A)) e. CC)
24	15, 23	syl 10	. . 3 |- (A e. RR -> (exp` (i x. A)) e. CC)
25		recjt 6753	. . 3 |- ((exp` (i x. A)) e. CC -> (Re` (exp` (i x. A))) = (((exp` (i x. A)) + (*` (exp` (i x. A)))) / 2))
26	24, 25	syl 10	. 2 |- (A e. RR -> (Re` (exp` (i x. A))) = (((exp` (i x. A)) + (*` (exp` (i x. A)))) / 2))
27	20, 22, 26	3eqtr4d 1509	1 |- (A e. RR -> (cos` A) = (Re` (exp` (i x. A))))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  ici 5208   + caddc 5209   x. cmul 5211  -ucneg 5265   / cdiv 5266  2c2 5908  Recre 6678  *ccj 6680  expce 7235  cosccos 7238

This theorem is referenced by:  recos4pt 7379  recosclt 7381  cos0 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-seq0 6466  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-fac 6869  df-clim 6913  df-sum 6918  df-ef 7240  df-cos 7243

Copyright terms: Public domain