Theorem recp1lt1 5849

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number.

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	|- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1t 5767	. . . . 5 |- (A e. RR -> A < (A + 1))
2		recnt 5285	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		ax1cn 5241	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		axaddcom 5247	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ 1 e. CC) -> (A + 1) = (1 + A))
5	3, 4	mpan2 694	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A + 1) = (1 + A))
6	2, 5	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A + 1) = (1 + A))
7	1, 6	breqtrd 2629	. . . 4 |- (A e. RR -> A < (1 + A))
8	7	adantr 389	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A < (1 + A))
9		divcan1t 5689	. . . 4 |- (((1 + A) e. CC /\ A e. CC /\ (1 + A) =/= 0) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) = A)
10		1re 5407	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
11		axaddrcl 5244	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 + A) e. RR)
12	10, 11	mpan 693	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 + A) e. RR)
13	12	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) e. RR)
14	13	recnd 5287	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) e. CC)
15	2	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. CC)
16		gt0ne0t 5592	. . . . 5 |- (((1 + A) e. RR /\ 0 < (1 + A)) -> (1 + A) =/= 0)
17		lt01 5653	. . . . . . 7 |- 0 < 1
18		addgtge0t 5622	. . . . . . 7 |- (((1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 < 1 /\ 0 <_ A)) -> 0 < (1 + A))
19	17, 18	mpanr1 707	. . . . . 6 |- (((1 e. RR /\ A e. RR) /\ 0 <_ A) -> 0 < (1 + A))
20	10, 19	mpanl1 704	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> 0 < (1 + A))
21	16, 13, 20	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) =/= 0)
22	9, 14, 15, 21	syl3anc 856	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) = A)
23	12	recnd 5287	. . . . 5 |- (A e. RR -> (1 + A) e. CC)
24		mulid2t 5389	. . . . 5 |- ((1 + A) e. CC -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
25	23, 24	syl 10	. . . 4 |- (A e. RR -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
26	25	adantr 389	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
27	8, 22, 26	3brtr4d 2635	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A)))
28		ltmul1t 5786	. . . 4 |- ((((A / (1 + A)) e. RR /\ 1 e. RR /\ (1 + A) e. RR) /\ 0 < (1 + A)) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
29	10, 28	mp3anl2 908	. . 3 |- ((((A / (1 + A)) e. RR /\ (1 + A) e. RR) /\ 0 < (1 + A)) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
30		redivclt 5756	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ (1 + A) e. RR /\ (1 + A) =/= 0) -> (A / (1 + A)) e. RR)
31		pm3.26 319	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
32	30, 31, 13, 21	syl3anc 856	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) e. RR)
33	32, 13	jca 288	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) e. RR /\ (1 + A) e. RR))
34	29, 33, 20	sylanc 471	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
35	27, 34	mpbird 196	1 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) < 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   / cdiv 5266   <_ cle 5267   < clt 5458

This theorem is referenced by:  climmullem4 7059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain