Theorem recp1lt1 6046

Description: Construct a number less than 1 from any nonnegative number.

Assertion

Ref	Expression
recp1lt1	|- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) < 1)

Proof of Theorem recp1lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltp1 5951	. . . . 5 |- (A e. RR -> A < (A + 1))
2		recn 5467	. . . . . 6 |- (A e. RR -> A e. CC)
3		ax1cn 5423	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
4		addcom 5459	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ 1 e. CC) -> (A + 1) = (1 + A))
5	3, 4	mpan2 700	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A + 1) = (1 + A))
6	2, 5	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (A + 1) = (1 + A))
7	1, 6	breqtrd 2712	. . . 4 |- (A e. RR -> A < (1 + A))
8	7	adantr 389	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A < (1 + A))
9		divcan1 5872	. . . 4 |- ((A e. CC /\ (1 + A) e. CC /\ (1 + A) =/= 0) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) = A)
10	2	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. CC)
11		1re 5589	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
12		readdcl 5456	. . . . . . 7 |- ((1 e. RR /\ A e. RR) -> (1 + A) e. RR)
13	11, 12	mpan 699	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (1 + A) e. RR)
14	13	adantr 389	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) e. RR)
15	14	recnd 5469	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) e. CC)
16		gt0ne0 5772	. . . . 5 |- (((1 + A) e. RR /\ 0 < (1 + A)) -> (1 + A) =/= 0)
17		lt01 5836	. . . . . . 7 |- 0 < 1
18		addgtge0 5803	. . . . . . 7 |- (((1 e. RR /\ A e. RR) /\ (0 < 1 /\ 0 <_ A)) -> 0 < (1 + A))
19	17, 18	mpanr1 713	. . . . . 6 |- (((1 e. RR /\ A e. RR) /\ 0 <_ A) -> 0 < (1 + A))
20	11, 19	mpanl1 710	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> 0 < (1 + A))
21	16, 14, 20	sylanc 473	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 + A) =/= 0)
22	9, 10, 15, 21	syl3anc 864	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) = A)
23	13	recnd 5469	. . . . 5 |- (A e. RR -> (1 + A) e. CC)
24		mulid2 5571	. . . . 5 |- ((1 + A) e. CC -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
25	23, 24	syl 10	. . . 4 |- (A e. RR -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
26	25	adantr 389	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (1 x. (1 + A)) = (1 + A))
27	8, 22, 26	3brtr4d 2718	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A)))
28		ltmul1 5970	. . . 4 |- (((A / (1 + A)) e. RR /\ 1 e. RR /\ ((1 + A) e. RR /\ 0 < (1 + A))) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
29	11, 28	mp3an2 910	. . 3 |- (((A / (1 + A)) e. RR /\ ((1 + A) e. RR /\ 0 < (1 + A))) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
30		redivcl 5940	. . . 4 |- ((A e. RR /\ (1 + A) e. RR /\ (1 + A) =/= 0) -> (A / (1 + A)) e. RR)
31		pm3.26 317	. . . 4 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> A e. RR)
32	30, 31, 14, 21	syl3anc 864	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) e. RR)
33	14, 20	jca 286	. . 3 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((1 + A) e. RR /\ 0 < (1 + A)))
34	29, 32, 33	sylanc 473	. 2 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> ((A / (1 + A)) < 1 <-> ((A / (1 + A)) x. (1 + A)) < (1 x. (1 + A))))
35	27, 34	mpbird 194	1 |- ((A e. RR /\ 0 <_ A) -> (A / (1 + A)) < 1)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994   =/= wne 1628   class class class wbr 2692  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388  1c1 5389   + caddc 5391   x. cmul 5393   / cdiv 5448   <_ cle 5449   < clt 5640

This theorem is referenced by:  climmullem4 7326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855

Copyright terms: Public domain