Theorem redivcl 5754

Description: Closure law for division of reals.

Hypotheses

Ref	Expression
redivcl.1	|- A e. RR
redivcl.2	|- B e. RR
redivcl.3	|- B =/= 0

Assertion

Ref	Expression
redivcl	|- (A / B) e. RR

Proof of Theorem redivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		redivcl.1	. . . 4 |- A e. RR
2	1	recn 5286	. . 3 |- A e. CC
3		redivcl.2	. . . 4 |- B e. RR
4	3	recn 5286	. . 3 |- B e. CC
5		redivcl.3	. . 3 |- B =/= 0
6	2, 4, 5	divrec 5700	. 2 |- (A / B) = (A x. (1 / B))
7		axrrecex 5256	. . . . 5 |- ((B e. RR /\ B =/= 0) -> E.x e. RR (B x. x) = 1)
8	3, 5, 7	mp2an 695	. . . 4 |- E.x e. RR (B x. x) = 1
9		df-rex 1642	. . . . 5 |- (E.x e. RR (B x. x) = 1 <-> E.x(x e. RR /\ (B x. x) = 1))
10		recnt 5285	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> x e. CC)
11		eqeq2 1476	. . . . . . . . . . 11 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> ((1 / B) = x <-> (1 / B) = if(x e. CC, x, 1)))
12		opreq2 3954	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> (B x. x) = (B x. if(x e. CC, x, 1)))
13	12	eqeq1d 1475	. . . . . . . . . . 11 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> ((B x. x) = 1 <-> (B x. if(x e. CC, x, 1)) = 1))
14	11, 13	bibi12d 627	. . . . . . . . . 10 |- (x = if(x e. CC, x, 1) -> (((1 / B) = x <-> (B x. x) = 1) <-> ((1 / B) = if(x e. CC, x, 1) <-> (B x. if(x e. CC, x, 1)) = 1)))
15		ax1cn 5241	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. CC
16	15	elimel 2384	. . . . . . . . . . 11 |- if(x e. CC, x, 1) e. CC
17	15, 4, 16, 5	divmul 5674	. . . . . . . . . 10 |- ((1 / B) = if(x e. CC, x, 1) <-> (B x. if(x e. CC, x, 1)) = 1)
18	14, 17	dedth 2373	. . . . . . . . 9 |- (x e. CC -> ((1 / B) = x <-> (B x. x) = 1))
19	10, 18	syl 10	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> ((1 / B) = x <-> (B x. x) = 1))
20		eleq1a 1535	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> ((1 / B) = x -> (1 / B) e. RR))
21	19, 20	sylbird 205	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> ((B x. x) = 1 -> (1 / B) e. RR))
22	21	imp 350	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ (B x. x) = 1) -> (1 / B) e. RR)
23	22	19.23aiv 1290	. . . . 5 |- (E.x(x e. RR /\ (B x. x) = 1) -> (1 / B) e. RR)
24	9, 23	sylbi 199	. . . 4 |- (E.x e. RR (B x. x) = 1 -> (1 / B) e. RR)
25	8, 24	ax-mp 7	. . 3 |- (1 / B) e. RR
26	1, 25	remulcl 5307	. 2 |- (A x. (1 / B)) e. RR
27	6, 26	eqeltr 1536	1 |- (A / B) e. RR

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977   =/= wne 1577  E.wrex 1638  ifcif 2351  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266

This theorem is referenced by:  redivclz 5755  rereccl 5757  posex 5856  nneo 6144  discrlem1 6586  nnesq 6592  sqrlem8 6610  sqrlem9 6611  sqrlem10 6612  sqrlem11 6613  sqrlem16 6618  sqrlem20 6622  sqrlem21 6623  sqrlem22 6624  sqr2irrlem1 6654  sqr2irrlem4 6657  abs3lem 6838  climunii 7035  expcnvlem4 7165  0.999... 7181  efcltlem1 7246  efaddlem8 7287  efaddlem12 7291  efaddlem15 7294  efaddlem18 7297  efaddlem19 7298  efaddlem20 7299  efaddlem22 7301  efaddlem23 7302  ef01tllem2 7326  eirrlem3 7332  efcnlem1 7359  cos2bnd 7417  cos01gt0 7419  ruclem26 7478  sinhalfpilem 8598  sincosq1lem 8620  sincosq1sgn 8621  sincosq2sgn 8622  sincosq3sgn 8623  sincosq4sgn 8624  sincos4thpi 8627  sincos6thpi 8628  cosh111lem1 8629  norm3lem 8937  hlimunii 9029  projlem6 9107

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672

Copyright terms: Public domain