Theorem reeff1 7618

Description: The exponential function maps real arguments one-to-one to positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Aug-2007.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1	|- (exp |` RR):RR-1-1->(0(,) +oo)

Proof of Theorem reeff1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dff13 3988	. 2 |- ((exp |` RR):RR-1-1->(0(,) +oo) <-> ((exp |` RR):RR-->(0(,) +oo) /\ A.x e. RR A.y e. RR (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) -> x = y)))
2		df-ef 7503	. . . . 5 |- exp = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))}
3		reseq1 3455	. . . . 5 |- (exp = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} -> (exp |` RR) = ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR))
4	2, 3	ax-mp 7	. . . 4 |- (exp |` RR) = ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR)
5		axresscn 5422	. . . . 5 |- RR (_ CC
6		resopab2 3488	. . . . 5 |- (RR (_ CC -> ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR) = {<.x, y>. | (x e. RR /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))})
7	5, 6	ax-mp 7	. . . 4 |- ({<.x, y>. | (x e. CC /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))} |` RR) = {<.x, y>. | (x e. RR /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))}
8	4, 7	eqtri 1538	. . 3 |- (exp |` RR) = {<.x, y>. | (x e. RR /\ y = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))}
9		recn 5467	. . . . . . 7 |- (x e. RR -> x e. CC)
10		efval 7513	. . . . . . 7 |- (x e. CC -> (exp` x) = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))
11	9, 10	syl 10	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (exp` x) = sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))
12		reefcl 7523	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (exp` x) e. RR)
13	11, 12	eqeltrrd 1592	. . . . 5 |- (x e. RR -> sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. RR)
14		efgt0 7613	. . . . . 6 |- (x e. RR -> 0 < (exp` x))
15	14, 11	breqtrd 2712	. . . . 5 |- (x e. RR -> 0 < sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)))
16	13, 15	jca 286	. . . 4 |- (x e. RR -> (sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. RR /\ 0 < sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k))))
17		repos 6526	. . . 4 |- (sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. (0(,) +oo) <-> (sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. RR /\ 0 < sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k))))
18	16, 17	sylibr 198	. . 3 |- (x e. RR -> sum_k e. NN0 ((x^k) / (!` k)) e. (0(,) +oo))
19	8, 18	fopab 3941	. 2 |- (exp |` RR):RR-->(0(,) +oo)
20		fvres 3845	. . . . 5 |- (x e. RR -> ((exp |` RR)` x) = (exp` x))
21		fvres 3845	. . . . 5 |- (y e. RR -> ((exp |` RR)` y) = (exp` y))
22	20, 21	eqeqan12d 1533	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) <-> (exp` x) = (exp` y)))
23		reef11 7617	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((exp` x) = (exp` y) <-> x = y))
24	23	biimpd 151	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((exp` x) = (exp` y) -> x = y))
25	22, 24	sylbid 201	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) -> x = y))
26	25	rgen2a 1745	. 2 |- A.x e. RR A.y e. RR (((exp |` RR)` x) = ((exp |` RR)` y) -> x = y)
27	1, 19, 26	mpbir2an 735	1 |- (exp |` RR):RR-1-1->(0(,) +oo)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  A.wral 1691   (_ wss 2099   class class class wbr 2692  {copab 2740   |` cres 3253  -->wf 3259  -1-1->wf1 3260  ` cfv 3263  (class class class)co 4021  CCcc 5386  RRcr 5387  0cc0 5388   / cdiv 5448  NN0cn0 5451   +oocpnf 5637   < clt 5640  (,)cioo 6483  ^cexp 6763  !cfa 7134  sum_csu 7182  expce 7498

This theorem is referenced by:  reeff1o 7634

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-nel 1631  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-f1 3276  df-fo 3277  df-f1o 3278  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-en 4509  df-dom 4510  df-sdom 4511  df-sup 4717  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-ltr 5324  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-lt 5401  df-sub 5510  df-neg 5512  df-pnf 5641  df-mnf 5642  df-xr 5643  df-ltxr 5644  df-le 5645  df-div 5855  df-n 6070  df-2 6116  df-3 6117  df-4 6118  df-n0 6268  df-z 6304  df-fl 6422  df-ioo 6487  df-uz 6545  df-fz 6596  df-seq1 6673  df-shft 6706  df-seqz 6728  df-seq0 6729  df-exp 6764  df-sqr 6871  df-re 6952  df-im 6953  df-cj 6954  df-abs 6955  df-fac 7135  df-bc 7160  df-clim 7178  df-sum 7183  df-ef 7503

Copyright terms: Public domain