Theorem reeff1olem1OLD 7383

Description: Lemma for reeff1o 7385.

Hypotheses

Ref	Expression
reeff1olem1OLD.1	|- U e. RR
reeff1olem1OLD.2	|- 1 < U
reeff1olem1OLD.3	|- C = sup({c e. (0[,]U) | (exp` c) <_ U}, RR, < )

Assertion

Ref	Expression
reeff1olem1OLD	|- E.x e. RR (exp` x) = U

Distinct variable groups:   x,C   U,c,x

Proof of Theorem reeff1olem1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 5423	. . . 4 |- 0 e. RR
2		reeff1olem1OLD.1	. . . 4 |- U e. RR
3		lt01 5663	. . . . 5 |- 0 < 1
4		reeff1olem1OLD.2	. . . . 5 |- 1 < U
5		1re 5418	. . . . . 6 |- 1 e. RR
6	1, 5, 2	lttr 5569	. . . . 5 |- ((0 < 1 /\ 1 < U) -> 0 < U)
7	3, 4, 6	mp2an 696	. . . 4 |- 0 < U
8		ef0 7294	. . . . . 6 |- (exp` 0) = 1
9	8, 4	eqbrtr 2630	. . . . 5 |- (exp` 0) < U
10	2	ltp1 5779	. . . . . 6 |- U < (U + 1)
11		ax1cn 5252	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
12	2	recn 5297	. . . . . . . 8 |- U e. CC
13	11, 12	addcom 5305	. . . . . . 7 |- (1 + U) = (U + 1)
14	1, 2, 7	ltlei 5564	. . . . . . . 8 |- 0 <_ U
15	2	efge1p 7360	. . . . . . . 8 |- (0 <_ U -> (1 + U) <_ (exp` U))
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (1 + U) <_ (exp` U)
17	13, 16	eqbrtrr 2632	. . . . . 6 |- (U + 1) <_ (exp` U)
18	2, 5	readdcl 5317	. . . . . . 7 |- (U + 1) e. RR
19	2	reefcl 7276	. . . . . . 7 |- (exp` U) e. RR
20	2, 18, 19	ltletr 5571	. . . . . 6 |- ((U < (U + 1) /\ (U + 1) <_ (exp` U)) -> U < (exp` U))
21	10, 17, 20	mp2an 696	. . . . 5 |- U < (exp` U)
22	9, 21	pm3.2i 285	. . . 4 |- ((exp` 0) < U /\ U < (exp` U))
23		reeff1olem1OLD.3	. . . 4 |- C = sup({c e. (0[,]U) | (exp` c) <_ U}, RR, < )
24		ssid 2077	. . . . 5 |- CC (_ CC
25		elicc2t 6337	. . . . . . . . . 10 |- ((0 e. RR /\ U e. RR) -> (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U)))
26	1, 2, 25	mp2an 696	. . . . . . . . 9 |- (x e. (0[,]U) <-> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
27	26	biimp 151	. . . . . . . 8 |- (x e. (0[,]U) -> (x e. RR /\ 0 <_ x /\ x <_ U))
28	27	3simp1d 793	. . . . . . 7 |- (x e. (0[,]U) -> x e. RR)
29	28	ssriv 2066	. . . . . 6 |- (0[,]U) (_ RR
30		axresscn 5251	. . . . . 6 |- RR (_ CC
31	29, 30	sstri 2070	. . . . 5 |- (0[,]U) (_ CC
32	24, 24, 31	3pm3.2i 817	. . . 4 |- (CC (_ CC /\ CC (_ CC /\ (0[,]U) (_ CC)
33		efcn 7380	. . . 4 |- exp e. (CC-cn->CC)
34		reefclt 7277	. . . . . 6 |- (x e. RR -> (exp` x) e. RR)
35	28, 34	syl 10	. . . . 5 |- (x e. (0[,]U) -> (exp` x) e. RR)
36	35	rgen 1696	. . . 4 |- A.x e. (0[,]U)(exp` x) e. RR
37	1, 2, 2, 7, 22, 23, 32, 33, 36	ivth2OLD 7251	. . 3 |- (C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U)
38		ioossre 6341	. . . . 5 |- (0(,)U) (_ RR
39	38	sseli 2062	. . . 4 |- (C e. (0(,)U) -> C e. RR)
40	39	anim1i 334	. . 3 |- ((C e. (0(,)U) /\ (exp` C) = U) -> (C e. RR /\ (exp` C) = U))
41	37, 40	ax-mp 7	. 2 |- (C e. RR /\ (exp` C) = U)
42		fveq2 3719	. . . 4 |- (x = C -> (exp` x) = (exp` C))
43	42	eqeq1d 1481	. . 3 |- (x = C -> ((exp` x) = U <-> (exp` C) = U))
44	43	rcla4ev 1874	. 2 |- ((C e. RR /\ (exp` C) = U) -> E.x e. RR (exp` x) = U)
45	41, 44	ax-mp 7	1 |- E.x e. RR (exp` x) = U

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 955   e. wcel 957  E.wrex 1644  {crab 1646   (_ wss 2044   class class class wbr 2615  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  supcsup 4556  CCcc 5215  RRcr 5216  0cc0 5217  1c1 5218   + caddc 5220   <_ cle 5278   < clt 5469  (,)cioo 6307  [,]cicc 6310  expce 7252

This theorem is referenced by:  reeff1olem2OLD 7384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-fl 6182  df-q 6206  df-rp 6231  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-ioo 6311  df-icc 6314  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-seq0 6479  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-fac 6884  df-bc 6909  df-clim 6928  df-sum 6933  df-cncf 7215  df-ef 7257

Copyright terms: Public domain