Theorem reexpclt 6512

Description: Closure of exponentiation of reals.

Assertion

Ref	Expression
reexpclt	|- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)

Proof of Theorem reexpclt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axresscn 5240	. 2 |- RR (_ CC
2		axmulrcl 5246	. 2 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x x. y) e. RR)
3		1re 5407	. 2 |- 1 e. RR
4	1, 2, 3	expcllem 6507	1 |- ((A e. RR /\ N e. NN0) -> (A^N) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  (class class class)co 3948  RRcr 5205  NN0cn0 5269  ^cexp 6500

This theorem is referenced by:  expgt0t 6520  expge0t 6522  expgt1t 6523  expge1t 6524  expordit 6531  expcant 6532  expordt 6533  expwordit 6534  expord2t 6535  expword2it 6536  expmwordit 6537  exple1t 6538  resqclt 6552  bernneq 6583  expnbndt 6585  faclbnd 6882  faclbnd2 6883  faclbnd3 6884  faclbnd4lem1 6885  faclbnd5 6890  faclbnd6 6891  expcnvlem2 7163  cvgratlem1ALT 7182  cvgratlem2ALT 7183  cvgratlem1 7185  cvgratlem2 7186  cvgratlem5 7189  reefcl 7259  erelem1 7261  erelem3 7263  efaddlem10 7289  efaddlem13 7292  efaddlem17 7296  efaddlem18 7297  efaddlem19 7298  efaddlem20 7299  efaddlem22 7301  reeftclt 7316  ef01tllem2 7326  absef01tllem 7328  abspef01tlub 7336  effsumle 7338  eflegeolem1 7353  eflegeolem2 7354  resin4pt 7378  recos4pt 7379  sin01bndlem2 7410  sin01bndlem3 7411  cos01bndlem2 7412  cos01bndlem3 7413  sin01gt0 7418  bcthlem1 7933  bcthlem8 7940  bcthlem21 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-n 5873  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501

Copyright terms: Public domain