MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rei Unicode version

Theorem rei 11848
Description: The real part of  _i. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
rei  |-  ( Re
`  _i )  =  0

Proof of Theorem rei
StepHypRef Expression
1 ax-icn 8943 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
2 ax-1cn 8942 . . . . 5  |-  1  e.  CC
31, 2mulcli 8989 . . . 4  |-  ( _i  x.  1 )  e.  CC
43addid2i 9147 . . 3  |-  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( _i  x.  1 )
54fveq2i 5635 . 2  |-  ( Re
`  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( Re `  (
_i  x.  1 ) )
6 0re 8985 . . 3  |-  0  e.  RR
7 1re 8984 . . 3  |-  1  e.  RR
8 crre 11806 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( Re `  (
0  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  0 )
96, 7, 8mp2an 653 . 2  |-  ( Re
`  ( 0  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  0
101mulid1i 8986 . . 3  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
1110fveq2i 5635 . 2  |-  ( Re
`  ( _i  x.  1 ) )  =  ( Re `  _i )
125, 9, 113eqtr3ri 2395 1  |-  ( Re
`  _i )  =  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   RRcr 8883   0cc0 8884   1c1 8885   _ici 8886    + caddc 8887    x. cmul 8889   Recre 11789
This theorem is referenced by:  cji  11851  igz  13189  atancj  20428  atanlogsublem  20433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-2 9951  df-cj 11791  df-re 11792
  Copyright terms: Public domain W3C validator