Theorem reldm0 3326

Description: A relation is empty iff its domain is empty.

Assertion

Ref	Expression
reldm0	|- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Proof of Theorem reldm0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rel0 3267	. . 3 |- Rel (/)
2		eqrel 3245	. . 3 |- ((Rel A /\ Rel (/)) -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
3	1, 2	mpan2 695	. 2 |- (Rel A -> (A = (/) <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/))))
4		eq0 2290	. . 3 |- (dom A = (/) <-> A.x -. x e. dom A)
5		visset 1809	. . . . . . 7 |- x e. V
6	5	eldm2 3303	. . . . . 6 |- (x e. dom A <-> E.y<.x, y>. e. A)
7	6	negbii 187	. . . . 5 |- (-. x e. dom A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
8		alnex 1031	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> -. E.y<.x, y>. e. A)
9		noel 2280	. . . . . . 7 |- -. <.x, y>. e. (/)
10	9	nbn 721	. . . . . 6 |- (-. <.x, y>. e. A <-> (<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
11	10	albii 997	. . . . 5 |- (A.y -. <.x, y>. e. A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
12	7, 8, 11	3bitr2 179	. . . 4 |- (-. x e. dom A <-> A.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
13	12	albii 997	. . 3 |- (A.x -. x e. dom A <-> A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)))
14	4, 13	bitr2 174	. 2 |- (A.xA.y(<.x, y>. e. A <-> <.x, y>. e. (/)) <-> dom A = (/))
15	3, 14	syl6bb 535	1 |- (Rel A -> (A = (/) <-> dom A = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  (/)c0 2276  <.cop 2407  dom cdm 3165  Rel wrel 3170

This theorem is referenced by:  relrn0 3350  fnresdisj 3589  mapdom2lem 4479  metne0 7773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-br 2615  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180  df-dm 3183

Copyright terms: Public domain