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Theorem relexpsucl 25137
Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucl.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucl.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucl  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )

Proof of Theorem relexpsucl
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
43oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( 0  +  1 ) ) )
5 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
65coeq2d 5038 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r 0 ) ) )
74, 6eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
82, 7imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
9 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
109anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
11 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
1211oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
13 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
1413coeq2d 5038 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
1610, 15imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
17 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1817anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
19 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  1 ) )
2019oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) ) )
21 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
2221coeq2d 5038 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
2418, 23imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2498 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2625anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
27 oveq1 6091 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2827oveq2d 6100 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
1 ) ) )
29 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
3029coeq2d 5038 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r N ) ) )
3128, 30eqeq12d 2452 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
3226, 31imbi12d 313 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) ) )
33 relexpsucl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  R )
34 relexpsucl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
3533, 34relexp0 25134 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3635adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3733, 34relexp1 25136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3837adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3933adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
40 relcoi1 5401 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4238, 41eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
43 coeq2 5034 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4443eqeq2d 2449 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 214 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
4636, 45mpcom 35 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
47 0p1e1 10098 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
48 oveq2 6092 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R ^
r 1 ) )
4948eqeq1d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^
r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5049imbi2d 309 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( ( 0  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5246, 51mpbir 202 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
53 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
54 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
5554, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
5654, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
5755, 56relexpsucr 25135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) ) )
5853, 57mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) )
59 simprrr 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
6055, 56relexpsucr 25135 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
6159, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
62 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  <->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
6362imbi2d 309 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
6463anbi1d 687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( (
( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )
6564anbi2d 686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )
6665anbi2d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) ) )
67 simprrr 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
68 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ph )
69 simprrl 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
7067, 68, 69mp2and 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
7170coeq1d 5037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R
) )
72 coass 5391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) )
7371, 72syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( R  o.  (
( R ^ r n )  o.  R
) ) )
74 coeq1 5033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R ) )
75 coeq2 5034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  =  ( R  o.  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
7674, 75eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (
( R ^ r n )  o.  R
)  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) ) ) )
7773, 76syl5ibr 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7866, 77sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7961, 78mpcom 35 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8058, 79eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8180anassrs 631 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8281expcom 426 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
8382expcom 426 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  -> 
( ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
848, 16, 24, 32, 52, 83nn0ind 10371 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
8584anabsi5 792 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) )
8685expcom 426 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   U.cuni 4017    _I cid 4496    |` cres 4883    o. ccom 4885   Rel wrel 4886  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998   NN0cn0 10226   ^ rcrelexp 25132
This theorem is referenced by:  relexpcnv  25138  relexpdm  25140  relexpindlem  25144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-seq 11329  df-relexp 25133
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