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Theorem relexpsucl 25120
Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucl.1  |-  ( ph  ->  Rel  R )
relexpsucl.2  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
relexpsucl  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )

Proof of Theorem relexpsucl
Dummy variables  i  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  (
i  e.  NN0  <->  0  e.  NN0 ) )
21anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ph )
) )
3 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  (
i  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
43oveq2d 6088 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( 0  +  1 ) ) )
5 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( i  =  0  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r 0 ) )
65coeq2d 5026 . . . . . 6  |-  ( i  =  0  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r 0 ) ) )
74, 6eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( i  =  0  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
82, 7imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  0  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
9 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  (
i  e.  NN0  <->  n  e.  NN0 ) )
109anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( n  e.  NN0  /\  ph )
) )
11 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  (
i  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
1211oveq2d 6088 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
13 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( i  =  n  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r n ) )
1413coeq2d 5026 . . . . . 6  |-  ( i  =  n  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )
1512, 14eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( i  =  n  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( n  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
1610, 15imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  n  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
17 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  e.  NN0  <->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 ) )
1817anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )
) )
19 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
i  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  1 ) )
2019oveq2d 6088 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) ) )
21 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) )
2221coeq2d 5026 . . . . . 6  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r ( n  + 
1 ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
2418, 23imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( (
( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
25 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  (
i  e.  NN0  <->  N  e.  NN0 ) )
2625anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( i  e.  NN0  /\ 
ph )  <->  ( N  e.  NN0  /\  ph )
) )
27 oveq1 6079 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  (
i  +  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
2827oveq2d 6088 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R ^
r ( N  + 
1 ) ) )
29 oveq2 6080 . . . . . . 7  |-  ( i  =  N  ->  ( R ^ r i )  =  ( R ^
r N ) )
3029coeq2d 5026 . . . . . 6  |-  ( i  =  N  ->  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  =  ( R  o.  ( R ^
r N ) ) )
3128, 30eqeq12d 2449 . . . . 5  |-  ( i  =  N  ->  (
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) )  <->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
3226, 31imbi12d 312 . . . 4  |-  ( i  =  N  ->  (
( ( i  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( i  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r i ) ) )  <->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^
r ( N  + 
1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) ) )
33 relexpsucl.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Rel  R )
34 relexpsucl.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  _V )
3533, 34relexp0 25117 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R
) )
3635adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R ) )
3733, 34relexp1 25119 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3837adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  R )
3933adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  Rel  R )
40 relcoi1 5389 . . . . . . . . 9  |-  ( Rel 
R  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) )  =  R )
4238, 41eqtr4d 2470 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
43 coeq2 5022 . . . . . . . 8  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) )
4443eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  (  _I  |`  U. U. R ) ) ) )
4542, 44syl5ibr 213 . . . . . 6  |-  ( ( R ^ r 0 )  =  (  _I  |`  U. U. R )  ->  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
4636, 45mpcom 34 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
47 0p1e1 10082 . . . . . 6  |-  ( 0  +  1 )  =  1
48 oveq2 6080 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R ^
r 1 ) )
4948eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) )  <->  ( R ^
r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5049imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( ( 0  +  1 )  =  1  ->  (
( ( 0  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) ) )
5147, 50ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )  <->  ( (
0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r 1 )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) ) )
5246, 51mpbir 201 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( 0  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r 0 ) ) )
53 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e. 
NN0 )
54 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ph )
5554, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  Rel  R )
5654, 34syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  R  e.  _V )
5755, 56relexpsucr 25118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( (
n  +  1 )  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) ) )
5853, 57mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R ) )
59 simprrr 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
6055, 56relexpsucr 25118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( n  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
6159, 60mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R ) )
62 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) )  <->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
6362imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  <->  ( (
n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) ) )
6463anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  <->  ( (
( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )
6564anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  <->  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) )
6665anbi2d 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  <->  ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) ) ) )
67 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
68 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ph )
69 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^
r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) ) )
7067, 68, 69mp2and 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )
7170coeq1d 5025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R
) )
72 coass 5379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  o.  ( R ^ r n ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) )
7371, 72syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  (
( R ^ r n )  o.  R
)  =  ( R  o.  ( R ^
r n ) ) )  /\  n  e. 
NN0 ) ) )  ->  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R )  =  ( R  o.  (
( R ^ r n )  o.  R
) ) )
74 coeq1 5021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( ( ( R ^ r n )  o.  R )  o.  R ) )
75 coeq2 5022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  =  ( R  o.  ( ( R ^ r n )  o.  R ) ) )
7674, 75eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) )  <->  ( (
( R ^ r n )  o.  R
)  o.  R )  =  ( R  o.  ( ( R ^
r n )  o.  R ) ) ) )
7773, 76syl5ibr 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( ( R ^ r n )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7866, 77sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( ( R ^ r n )  o.  R )  ->  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
7961, 78mpcom 34 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( ( R ^ r ( n  +  1 ) )  o.  R )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8058, 79eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN0  /\  ( ph  /\  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) ) )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8180anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  /\  (
( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 ) )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) )
8281expcom 425 . . . . 5  |-  ( ( ( ( n  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  /\  n  e.  NN0 )  ->  (
( ( n  + 
1 )  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( ( n  +  1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) )
8382expcom 425 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( n  e.  NN0  /\ 
ph )  ->  ( R ^ r ( n  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r n ) ) )  -> 
( ( ( n  +  1 )  e. 
NN0  /\  ph )  -> 
( R ^ r ( ( n  + 
1 )  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r ( n  +  1 ) ) ) ) ) )
848, 16, 24, 32, 52, 83nn0ind 10355 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
8584anabsi5 791 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ph )  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) )
8685expcom 425 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( R ^ r ( N  +  1 ) )  =  ( R  o.  ( R ^ r N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   U.cuni 4007    _I cid 4485    |` cres 4871    o. ccom 4873   Rel wrel 4874  (class class class)co 6072   0cc0 8979   1c1 8980    + caddc 8982   NN0cn0 10210   ^ rcrelexp 25115
This theorem is referenced by:  relexpcnv  25121  relexpdm  25123  relexpindlem  25127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-nn 9990  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-seq 11312  df-relexp 25116
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