MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relogcl Structured version   Unicode version

Theorem relogcl 20465
Description: Closure of the natural logarithm function on positive reals. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
relogcl  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem relogcl
StepHypRef Expression
1 fvres 5737 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  =  ( log `  A ) )
2 relogf1o 20456 . . . 4  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR
3 f1of 5666 . . . 4  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  ->  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( log  |`  RR+ ) : RR+ --> RR
54ffvelrni 5861 . 2  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  e.  RR )
61, 5eqeltrrd 2510 1  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( log `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725    |` cres 4872   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   RRcr 8981   RR+crp 10604   logclog 20444
This theorem is referenced by:  logneg  20474  lognegb  20476  relogoprlem  20477  reexplog  20481  relogexp  20482  logfac  20487  logleb  20490  rplogcl  20491  logmul2  20503  logdiv2  20504  abslogle  20505  logdivlti  20507  logdivlt  20508  logdivle  20509  relogcld  20510  advlog  20537  advlogexp  20538  logccv  20546  logcxp  20552  rpcxpcl  20559  cxpmul  20571  abscxp  20575  cxple2  20580  logsqr  20587  dvcxp1  20618  dvcxp2  20619  loglesqr  20634  log2ub  20781  birthday  20785  cxploglim  20808  cxploglim2  20809  amgmlem  20820  logdifbnd  20824  emcllem7  20832  emre  20836  emgt0  20837  harmonicbnd3  20838  harmoniclbnd  20839  harmonicbnd4  20841  cht2  20947  chtleppi  20986  chtublem  20987  chtub  20988  logfacubnd  20997  logfaclbnd  20998  logfacbnd3  20999  logfacrlim  21000  logexprlim  21001  efexple  21057  bposlem6  21065  bposlem7  21066  bposlem8  21067  bposlem9  21068  chebbnd1lem3  21157  chebbnd1  21158  chto1ub  21162  vmadivsum  21168  rpvmasumlem  21173  dchrvmasumlem2  21184  dchrvmasumlema  21186  dchrvmasumiflem1  21187  dchrvmasumiflem2  21188  dchrisum0fno1  21197  rpvmasum2  21198  dchrisum0re  21199  rpvmasum  21212  rplogsum  21213  dirith2  21214  logdivsum  21219  mulog2sumlem2  21221  mulog2sumlem3  21222  logsqvma  21228  log2sumbnd  21230  selberglem1  21231  selberglem2  21232  selberglem3  21233  selberg  21234  selberg2lem  21236  selberg2  21237  pntrsumo1  21251  selbergr  21254  pntrlog2bndlem4  21266  pntibndlem3  21278  xrge0iifiso  24313  relogbcl  24394  log2le1  24399  relgamcl  24838  reglogcl  26944  reglogltb  26945  reglogleb  26946  reglogmul  26947  reglogexp  26948  reglogbas  26949  reglog1  26950  stirlinglem12  27801  stirlinglem13  27802  stirlinglem14  27803
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446
  Copyright terms: Public domain W3C validator