Theorem relopab 3261

Description: A class of ordered pairs is a relation.

Assertion

Ref	Expression
relopab	|- Rel {<.x, y>. | ph}

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem relopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1809	. . . . . 6 |- x e. V
2		visset 1809	. . . . . 6 |- y e. V
3	1, 2	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (x e. V /\ y e. V)
4	3	a1i 8	. . . 4 |- (ph -> (x e. V /\ y e. V))
5	4	ssopab2i 2818	. . 3 |- {<.x, y>. | ph} (_ {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
6		df-xp 3179	. . 3 |- (V X. V) = {<.x, y>. | (x e. V /\ y e. V)}
7	5, 6	sseqtr4 2090	. 2 |- {<.x, y>. | ph} (_ (V X. V)
8		df-rel 3180	. 2 |- (Rel {<.x, y>. | ph} <-> {<.x, y>. | ph} (_ (V X. V))
9	7, 8	mpbir 190	1 |- Rel {<.x, y>. | ph}

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 956  Vcvv 1807   (_ wss 2043  {copab 2661   X. cxp 3163  Rel wrel 3170

This theorem is referenced by:  opabid2 3262  inopab 3263  reli 3268  rele 3269  relcnv 3427  cnvopab 3437  relco 3476  funopab 3540  fnopabfv 3749  reloprab 3983  reldmoprab 3996  elopabi 4107  relen 4360  reldom 4361  aceq3lem 4712  climrel 6922  eltopsp 7554  tpsex 7555  msrel 7747  lmrel 7879  isring 8093  vcrel 8118  fiv 10410  hgrarel 10640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-opab 2662  df-xp 3179  df-rel 3180

Copyright terms: Public domain