Theorem relsn 3216

Description: A singleton of an ordered pair is a relation.

Hypothesis

Ref	Expression
relsn.1	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
relsn	|- Rel {<.A, B>.}

Proof of Theorem relsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . . . 5 |- A e. V
2		opelxpi 3179	. . . . 5 |- ((A e. V /\ B e. V) -> <.A, B>. e. (V X. V))
3	1, 2	mpan 692	. . . 4 |- (B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
4		opprc2 2468	. . . . 5 |- (-. B e. V -> <.A, B>. = <.A, A>.)
5	1	opelxp 3176	. . . . . 6 |- (<.A, A>. e. (V X. V) <-> (A e. V /\ A e. V))
6	5, 1, 1	mpbir2an 727	. . . . 5 |- <.A, A>. e. (V X. V)
7	4, 6	syl6eqel 1532	. . . 4 |- (-. B e. V -> <.A, B>. e. (V X. V))
8	3, 7	pm2.61i 126	. . 3 |- <.A, B>. e. (V X. V)
9		snssi 2436	. . 3 |- (<.A, B>. e. (V X. V) -> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
10	8, 9	ax-mp 7	. 2 |- {<.A, B>.} (_ (V X. V)
11		df-rel 3148	. 2 |- (Rel {<.A, B>.} <-> {<.A, B>.} (_ (V X. V))
12	10, 11	mpbir 190	1 |- Rel {<.A, B>.}

Syntax hints:  -. wn 2   e. wcel 1105  Vcvv 1786   (_ wss 2018  {csn 2380  <.cop 2382   X. cxp 3131  Rel wrel 3138

This theorem is referenced by:  cnvsn 3398  funsn 3484  fsn 3773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-v 1787  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-nul 2252  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-op 2387  df-opab 2635  df-xp 3147  df-rel 3148

Copyright terms: Public domain